Đề bài
Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
a) \(A = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\);
b) \(B = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\);
c) \(C = {\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\);
d) \(D = \frac{{1 - \cos 2x + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng công thức góc liên quan, công thức biến tích thành tổng, công thức góc nhân đôi, công thức lượng giác cơ bản để biến đổi linh hoạt.
\(\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x\)
\(\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left( {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right)\)
\(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1\)
\(\sin 2a = 2\sin a\cos a\)
\(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}}\,;\,\,\cot a = \frac{{\cos a}}{{\sin a}}\); \(\tan a.\cot a = 1\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có
\(\begin{array}{l}A = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\\\,\,\,\,\,\, = \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = 0\end{array}\)
b) Ta có
\(\begin{array}{l}B = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)} \right)\\\,\,\,\,\, = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = 0\end{array}\)
c) Ta có
\(\begin{array}{l}C = {\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\\\,\,\,\,\, = {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{3} - x + \frac{\pi }{3} + x} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x - \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)} \right)} \right]\\\,\,\,\,\, = {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left[ {\cos \frac{{2\pi }}{3} + \cos ( - 2x)} \right] = {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left( { - \frac{1}{2} + \cos 2x} \right)\\\,\,\,\,\, = {\sin ^2}x - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) = \frac{1}{4}\end{array}\)
d) Ta có
\(\begin{array}{l}D = \frac{{1 - \cos 2x + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{1 - (1 - 2{{\sin }^2}x) + 2\sin x\cos x}}{{1 + 2{{\cos }^2}x - 1 + 2\sin x\cos x}}.\cot x\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos x}}{{2{{\cos }^2}x + 2\sin x\cos x}}.\cot x\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2\sin x(\sin x + \cos x)}}{{2\cos x(\cos x + \sin x)}}.\cot x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}.\cot x = \tan x.\cot x = 1\end{array}\)
English
French
Spanish
Russian