Giải bài 2.50 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Một dãy số $(u_n)$ được gọi là một cấp số nhân cộng nếu nó cho bởi hệ thức truy hồi

$u_1=a,u_{n+1}=q{u}_n+d$

Nếu $q=1$ ta có cấp số cộng với công sai d, còn nếu $d=0$ ta có cấp số nhân với công bội q.

a) Giả sử $q\ne 1$. Dự đoán công thức số hạng tổng quát $u_n$.

b) Thiết lập công thức tính tổng $S_n$của n số hạng đầu của cấp số nhân cộng $(u_n)$.

Lời giải chi tiết

Ta viết lần lượt các số hạng của dãy

$\begin{array}{l}{u}_1=a,\\ u_2=q{u}_1+d\\ u_3=q{u}_2+d=q\left(q{u}_1+d\right)+d=q^2{u}_1+d\left(q+1\right)\\ u_4=q{u}_3+d=q\left(q^2{u}_1+d\left(q+1\right)\right)+d=q^3{u}_1+d\left(q^2+q+1\right)\\ =q^3{u}_1+d\frac{1-q^3}{1-q}.\end{array}$

Làm tương tự ta được công thức số hạng tổng quát

$u_n=q^{n-1}{u}_1+d\frac{1-q^{n-1}}{1-q}.$

b) Ta viết tổng n số hạng như sau:

$\begin{array}{l}{S}_n=u_1+u_2+...+u_n=u_1+\left(q{u}_1+d\right)+\left(q{u}_2+d\right)+...\left(q{u}_{n-1}+d\right)\\ =u_1+q{S}_{n-1}+(n-1)d\end{array}$

Vậy ta được $S_n$ cũng là một cấp số nhân cộng với $S_1=u_1$

Áp dụng công thức của cấp số nhân cộng ở câu a, ta được

$S_n=q^{n-1}{S}_1+d\frac{1-q^{n-1}}{1-q}=q^{n-1}{u}_1+d\frac{1-q^{n-1}}{1-q}.$