Giải bài 7.22 trang 34 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng sau:

a) Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\);

b) Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

Khi đó \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SO \bot AB\),

Kẻ \(OH \bot AB\) tại \(H\) thì \(AB \bot \left( {SOH} \right)\), suy ra \(AB \bot SH\).

 Do đó, góc giữa hai mặt phằng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(SH\) vả \(HO\), mà \(\left( {SH,HO} \right) = \widehat {SHO}\) nên góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(\widehat {SHO}\).

Ta tính được \({\rm{OH}} = \frac{a}{2},{\rm{SH}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), suy ra \({\rm{cos}}\widehat {SHO} = \frac{{{\rm{OH}}}}{{{\rm{SH}}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

b) Gọi \(K\) là trung điểm của \(SB\). Khi đó \(AK \bot SB,CK \bot SB\), suy ra góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(AK\) và \(CK\).

Ta có \(AK = CK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},AC = a\sqrt 2 \).

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ACK, ta có:

\({\rm{cos}}\widehat {AKC} = \frac{{A{K^2} + C{K^2} - A{C^2}}}{{2 \cdot AK \cdot CK}} = \frac{{ - 1}}{3}\), suy ra \({\rm{cos}}\left( {AK,CK} \right) =  - {\rm{cos}}\widehat {AKC} = \frac{1}{3}\).

Vậy côsin góc giữa hai mặt phả̉ng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\frac{1}{3}\).