Giải bài 7.52 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

2024-09-14 13:05:27

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có $S A ⊥ (A B C D)$ biết ABCD là hình vuông cạnh bằng a và $S A = a \sqrt{2}$

a) Chứng minh rằng $(S A C) ⊥ (S B D)$ và $(S A D) ⊥ (S C D)$

b) Gọi BE, DF là hai đường cao của tam giác SBD. Chứng minh $(A C F) ⊥ (S B C)$ và $(A E F) ⊥ (S A C)$

c) Tính theo a khoản cách giữa hai đường thẳng BD và SC

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh $B D ⊥ (S A C)$ từ đó suy ra $(S B D) ⊥ (S A C)$ .

b) Chứng minh $A F ⊥ (S B C)$ từ đó suy ra $(A C F) ⊥ (S B C)$ .

Chứng minh $S C ⊥ (A E F)$ suy ra $(A E F) ⊥ (S A C)$ .

c) Dựng đoạn vuông góc chung của $B D$ và $S C$ ,

Tính độ dài đoạn vuông góc chung của $B D$ và $S C$ ,

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $B D ⊥ A C, S A ⊥ (A B C D)$ nên $S A ⊥ B D$ , suy ra $B D ⊥ (S A C)$ , mà mặt phẳng $(S B D)$ chứa đường thẳng $B D$ , do đó $(S B D) ⊥ (S A C)$ .

Ta có: $C D ⊥ A D, C D ⊥ S A$ , suy ra $C D ⊥ (S A D)$ , mà mặt phẳng $(S C D)$ chứa đường thẳng $C D$ , do đó $(S C D) ⊥ (S A D)$ .

b) Ta có: $A D ⊥ (S A B)$ nên $A D ⊥ S B$ , mà $S B ⊥ D F$ suy ra $S B ⊥ (A D F)$ , do đó

$S B ⊥ A F$ .

Ta lại có $B C ⊥ (S A B)$ nên $B C ⊥ A F$ , suy ra $A F ⊥ (S B C)$ , mà mặt phẳng $(A C F)$ chứa đường thẳng $A F$ nên $(A C F) ⊥ (S B C)$ .

Vì $A F ⊥ (S B C)$ nên $A F ⊥ S C$ .

Tương tự, ta có $A E ⊥ (S C D)$ nên $A E ⊥ S C$ , suy ra $S C ⊥ (A E F)$ , mà mặt phẳng $(S A C)$ chứa đường thẳng $S C$ nên $(A E F) ⊥ (S A C)$ .

c) Gọi $O$ là giao điểm của $A C$ và $B D$ , kẻ $O H ⊥ S C$ tại $H$ , mà $B D ⊥ (S A C)$ nên $O H ⊥ B D$ , suy ra $O H$ là đoạn vuông góc chung của $B D$ và $S C$ , hay $d (B D, S C) = O H$

Ta có: $Δ C H O$ đồng dạng với $Δ C A S$ nên $\frac{O C}{C S} = \frac{O H}{A S}$ , suy ra $O H = \frac{A S \cdot O C}{C S} = \frac{a}{2}$ .

Vậy $d (B D, S C) = \frac{a}{2}$ .

Bạn muốn hỏi điều gì?

Đặt Câu Hỏi

We using AI and power community to slove your question

Mẹo tìm đáp án nhanh

Search Google: "từ khóa + hoctot.me" Ví dụ: "Bài 1 trang 15 SGK Vật lí 11 hoctot.me"