Giải bài 29 trang 70 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

2024-09-14 13:06:00

Đề bài

Giả sử $u_{n}$ là số hạng thứ $n$ của dãy số $(u_{n})$ và $u_{n} = \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{n} - {(1 - \sqrt{5})}^{n}}{2^{n} \sqrt{5}}$ .

a) Chứng tỏ rằng $u_{1} = 1, u_{2} = 1$ và $u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_{n}$ với mọi $n \in N^{*}$ .

Từ đó suy ra $(u_{n})$ là dãy số Fibonacci.

b) Viết 11 số hạng đầu tiên của dãy Fibonacci và 10 tỉ số $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ đầu tiên.

Tinh $lim_{n \to + \infty} \frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Ta có $u_{1} = 1, u_{2} = 1$ và $u_{n + 2} = \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{n + 2} - {(1 - \sqrt{5})}^{n + 2}}{2^{n + 2} \sqrt{5}}$

Áp dụng hằng đẳng thức $a^{n + 2} - b^{n + 2} = (a^{n + 1} - b^{n + 1}) (a + b) - a b (a^{n} - b^{n})$

Ta có $u_{n + 2} = \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{n + 2} - {(1 - \sqrt{5})}^{n + 2}}{2^{n + 2} \sqrt{5}}$

$= \frac{[{(1 + \sqrt{5})}^{n + 1} - {(1 - \sqrt{5})}^{n + 1}] [1 + \sqrt{5} + 1 - \sqrt{5}] - (1 + \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5}) [{(1 + \sqrt{5})}^{n} - {(1 - \sqrt{5})}^{n}]}{2^{n + 2} \sqrt{5}}$

$= \frac{[{(1 + \sqrt{5})}^{n + 1} - {(1 - \sqrt{5})}^{n + 1}] \cdot 2 + 4 \cdot [{(1 + \sqrt{5})}^{n} - {(1 - \sqrt{5})}^{n}]}{2^{n + 2} \sqrt{5}}$

$= \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{n + 1} - {(1 - \sqrt{5})}^{n + 1}}{2^{n + 1} \sqrt{5}} + \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{n} - {(1 - \sqrt{5})}^{n}}{2^{n} \sqrt{5}} = u_{n + 1} + u_{n}$ .

Vậy $(u_{n})$ là dãy số Fibonacci.

b) Lập bảng

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
$u_{n}$
$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$

Thay

Tính $lim_{n \to + \infty} \frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$

Lời giải chi tiết

. a) Ta có $u_{1} = 1, u_{2} = 1$ và $u_{n + 2} = \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{n + 2} - {(1 - \sqrt{5})}^{n + 2}}{2^{n + 2} \sqrt{5}}$

$= \frac{[{(1 + \sqrt{5})}^{n + 1} - {(1 - \sqrt{5})}^{n + 1}] [1 + \sqrt{5} + 1 - \sqrt{5}] - (1 + \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5}) [{(1 + \sqrt{5})}^{n} - {(1 - \sqrt{5})}^{n}]}{2^{n + 2} \sqrt{5}}$

$= \frac{[{(1 + \sqrt{5})}^{n + 1} - {(1 - \sqrt{5})}^{n + 1}] \cdot 2 + 4 \cdot [{(1 + \sqrt{5})}^{n} - {(1 - \sqrt{5})}^{n}]}{2^{n + 2} \sqrt{5}}$

$= \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{n + 1} - {(1 - \sqrt{5})}^{n + 1}}{2^{n + 1} \sqrt{5}} + \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{n} - {(1 - \sqrt{5})}^{n}}{2^{n} \sqrt{5}} = u_{n + 1} + u_{n}$ .

Vậy $(u_{n})$ là dãy số Fibonacci.

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
$u_{n}$	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89
$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$	1	2	1,5	$\frac{5}{3}$	$\frac{8}{5}$	$\frac{13}{8}$	$\frac{21}{13}$	$\frac{34}{21}$	$\frac{55}{34}$	$\frac{89}{55}$	$\frac{144}{89}$

Ta có:

(do $| \frac{1 - \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}} | < 1$ nên $lim_{n \to + \infty} {(\frac{1 - \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}})}^{n} = 0$ ).

Bạn muốn hỏi điều gì?

Đặt Câu Hỏi

We using AI and power community to slove your question

Mẹo tìm đáp án nhanh

Search Google: "từ khóa + hoctot.me" Ví dụ: "Bài 1 trang 15 SGK Vật lí 11 hoctot.me"