Giải bài 39 trang 72 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$, đường thẳng $SA$. vuông góc vói mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ và $SA=a\sqrt{2}$.

a) Chứng minh rằng $\left(SBC\right)\mathrm{\perp }\left(SAB\right)$.

b) Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left(ABCD\right)$.

Tính theo $a$ khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left(SBC\right)$.

Lời giải chi tiết

a) Vì $SA\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\mathrm{\perp }BC$ mà $BC\mathrm{\perp }AB\Rightarrow BC\mathrm{\perp }\left(SAB\right)\Rightarrow \left(SBC\right)\mathrm{\perp }\left(SAB\right)$.

b) Vì $SA\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$ nên đường thẳng $AC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ trên mặt phẳng $\left(ABCD\right)$, do đó góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ là góc giứa hai đường thẳng $SC$ và $AC$.

Ta có: $SA\mathrm{\perp }AC$ và $SA=AC=a\sqrt{2}$ nên tam giác $SAC$ vuông cân tại $A$, suy ra góc giữa hai đường thẳng $SC$ và $AC$ bằng ${45}^{\circ }$.

Vậy góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ bằng ${45}^{\circ }$.

c) Kẻ $AH$ vuông góc với $SB$ tại $H$, vì $BC\mathrm{\perp }\left(SAB\right)$ nên $BC\mathrm{\perp }AH$, suy ra $AH\mathrm{\perp }\left(SBC\right)$.

Do đó khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left(SBC\right)$ bằng $AH$.

Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$, có đường cao $AH$, khi đó:

$AH=\frac{SA\cdot AB}{SB}=\frac{a\cdot a\sqrt{2}}{\sqrt{a^2+2a^2}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$