Giải bài 39 trang 72 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a\), đường thẳng \(SA\). vuông góc vói mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt 2 \).

a) Chứng minh rằng \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).

b) Tính góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Tính theo \(a\) khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(BC \bot AB \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).

b) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên đường thẳng \(AC\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), do đó góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giứa hai đường thẳng \(SC\) và \(AC\).

Ta có: \(SA \bot AC\) và \(SA = AC = a\sqrt 2 \) nên tam giác \(SAC\) vuông cân tại \(A\), suy ra góc giữa hai đường thẳng \(SC\) và \(AC\) bằng \({45^ \circ }\).

Vậy góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({45^ \circ }\).

c) Kẻ \(AH\) vuông góc với \(SB\) tại \(H\), vì \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(BC \bot AH\), suy ra \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).

Do đó khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(AH\).

Xét tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\), có đường cao \(AH\), khi đó:

\(AH = \frac{{SA \cdot AB}}{{SB}} = \frac{{a \cdot a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)