Giải bài 2 trang 19 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Cho $\cos \alpha =\frac{11}{61}$ và $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sin \left(\frac{\pi }{6}-\alpha \right)$;

b) $\cot \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$;

c) $\cos \left(2\alpha +\frac{\pi }{3}\right)$;

d) $\tan \left(\frac{3\pi }{4}-2\alpha \right)$.

Lời giải chi tiết

Vì $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0\Rightarrow \sin \alpha <0$

Do đó, $\sin \alpha$ $=-\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }$ $=-\sqrt{1-{\left(\frac{11}{61}\right)}^2}$ $=\frac{-60}{61}$

a) $\sin \left(\frac{\pi }{6}-\alpha \right)$ $=\sin \frac{\pi }{6}\cos \alpha -\cos \frac{\pi }{6}\sin \alpha$ $=\frac{1}{2}.\frac{11}{61}-\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{-60}{61}$ $=\frac{11+60\sqrt{3}}{122}$;

b) Ta có: $\tan \alpha$ $=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ $=\frac{\frac{-60}{61}}{\frac{11}{61}}$ $=\frac{-60}{11}$

$\cot \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$ $=\frac{1}{\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)}$ $=\frac{1-\tan \alpha \tan \frac{\pi }{4}}{\tan \alpha +\tan \frac{\pi }{4}}$ $=\frac{1-\left(\frac{-60}{11}\right).1}{\left(\frac{-60}{11}\right)+1}$ $=\frac{-71}{49}$;

c) Ta có: $\cos 2\alpha$ $=2{\cos }^2\alpha -1$ $=2.{\left(\frac{11}{61}\right)}^2-1$ $=\frac{-3479}{3721}$, $\sin 2\alpha$ $=2\sin \alpha \cos \alpha$ $=2.\frac{11}{61}.\frac{-60}{61}$ $=\frac{-1320}{3721}$

$\cos \left(2\alpha +\frac{\pi }{3}\right)$ $=\cos 2\alpha \cos \frac{\pi }{3}-\sin 2\alpha \sin \frac{\pi }{3}$ $=\frac{-3479}{3721}.\frac{1}{2}-\frac{-1320}{3721}.\frac{\sqrt{3}}{2}$ $=\frac{-3479+1320\sqrt{3}}{7442}$

d) Ta có: $\tan 2\alpha$ $=\frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }$ $=\frac{\frac{-1320}{3721}}{\frac{-3479}{3721}}$ $=\frac{1320}{3479}$

$\tan \left(\frac{3\pi }{4}-2\alpha \right)$ $=\frac{\tan \frac{3\pi }{4}-\tan 2\alpha }{1+\tan \frac{3\pi }{4}.\tan 2\alpha }$ $=\frac{-1-\frac{1320}{3479}}{1+\left(-1\right).\frac{1320}{3479}}$ $=\frac{-4799}{2159}$