Giải bài 10 trang 32 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Chiều cao h(m) của một cabin trên vòng quay vào thời điểm t giây sau khi bắt đầu chuyển động được cho bởi công thức $h\left(t\right)=30+20\sin \left(\frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}\right)$.

a) Cabin đạt độ cao tối đa là bao nhiêu?

b) Sau bao nhiêu giây thì cabin đạt độ cao 40m lần đầu tiên?

Lời giải chi tiết

a) Vì $\sin \left(\frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}\right)\le 1\Rightarrow 30+20\sin \left(\frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}\right)\le 50$.

Do đó, cabin đạt độ cao tối đa là 50m.

b) Thời gian để cabin đạt độ cao 40m lần đầu tiên là nghiệm của phương trình $40=30+20\sin \left(\frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}\right)$ với $t>0$ và t là giá trị nhỏ nhất.

$40=30+20\sin \left(\frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}\right)$ $\iff \sin \left(\frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ $\iff \sin \left(\frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{6}$

$\iff [\begin{array}{l}\frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ \frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ $\iff [\begin{array}{l}t=\frac{-25}{6}+k50\\ t=\frac{25}{2}+k50\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

+) Xét $t=\frac{-25}{6}+k50\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ và $t>0$ ta có: $\frac{-25}{6}+k50>0$ $\iff k>\frac{1}{12}$. Mà $k\in \mathbb{Z}$ nên $k\in \left\{1;2;3;...\right\}$. Mà t đạt giá trị dương nhỏ nhất nên $t=\frac{-25}{6}+1.50=\frac{275}{6}$ (với $k=1$)

+) Xét $t=\frac{25}{2}+k50\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ và $t>0$ ta có: $\frac{25}{2}+k50>0$ $\iff k>\frac{-1}{4}$. Mà $k\in \mathbb{Z}$ nên $k\in \left\{0;1;2;3;...\right\}$. Mà t đạt giá trị dương nhỏ nhất nên $t=\frac{25}{2}+0.50=12,5$ (với $k=0$)

Vì $\frac{275}{6}>12,5$ nên sau 12,5 giây thì cabin đạt độ cao 40m lần đầu tiên.