Giải bài 2 trang 34 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Chứng minh rằng các hàm số dưới đây là hàm số tuần hoàn và xét tính chẵn, lẻ của mỗi hàm số đó.

a) \(y = 3\sin x + 2\tan \frac{x}{3}\);

b) \(y = \cos x\sin \frac{{\pi  - x}}{2}\).

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{3\pi }}{2} + k3\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\)

Vì \(x \pm 6\pi  \in D\) với mọi \(x \in D\) và

\(3\sin \left( {x + 6\pi } \right) + 2\tan \frac{{x + 6\pi }}{3} = 3\sin x + 2\tan \left( {\frac{x}{3} + 2\pi } \right) = 3\sin x + 2\tan \frac{x}{3}\)

Do đó, hàm số \(y = 3\sin x + 2\tan \frac{x}{3}\) là hàm số tuần hoàn.

Vì \( - x \in D\) với mọi \(x \in D\) và

\(3\sin \left( { - x} \right) + 2\tan \frac{{ - x}}{3} =  - 3\sin x - 2\tan \frac{x}{3} =  - \left( {3\sin x + 2\tan \frac{x}{3}} \right)\)

Suy ra hàm số \(y = 3\sin x + 2\tan \frac{x}{3}\) là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số \(y = \cos x\sin \frac{{\pi  - x}}{2}\) là: \(D = \mathbb{R}\)

Vì \(x \pm 4\pi  \in D\) với mọi \(x \in D\) và

\(\cos \left( {x + 4\pi } \right)\sin \frac{{\pi  - \left( {x + 4\pi } \right)}}{2} = \cos x\sin \left( {\frac{{\pi  - x}}{2} - 2\pi } \right) = \cos x\sin \frac{{\pi  - x}}{2}\)

Do đó, hàm số \(y = \cos x\sin \frac{{\pi  - x}}{2}\) là hàm số tuần hoàn.

Vì \( - x \in D\) với mọi \(x \in D\) và

\(y = \cos \left( { - x} \right)\sin \frac{{\pi  - \left( { - x} \right)}}{2} = \cos x\sin \left( {\pi  - \frac{{\pi  - x}}{2}} \right) = \cos x\sin \frac{{\pi  - x}}{2}\)

Suy ra hàm số \(y = \cos x\sin \frac{{\pi  - x}}{2}\) là hàm số chẵn.