Đề bài
Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^3} - 3x} \right)\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {2x + 5} \);
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4 - x}}{{2x + 1}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa giới hạn để tính: Cho điểm \({x_0}\) thuộc khoảng K và hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giới hạn hữu hạn là số L khi x dần tới \({x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì, \({x_n} \in K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \({x_n} \to {x_0}\), thì \(f\left( {{x_n}} \right) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) hay \(f\left( x \right) \to L\) khi \(x \to {x_0}\).
Lời giải chi tiết
a) Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thỏa mãn \({x_n} \ne - 1\) với mọi n và \({x_n} \to - 1\) khi \(n \to + \infty \).
Ta có: \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {x_n^3 - 3{x_n}} \right) = \lim x_n^3 - 3\lim {x_n} = {\left( { - 1} \right)^3} - 3.\left( { - 1} \right) = 2\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^3} - 3x} \right) = 2\);
b) Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thỏa mãn \({x_n} \ge \frac{{ - 5}}{2},{x_n} \ne 2\) với mọi n và \(\lim {x_n} = 2\)
Ta có: \(\lim \sqrt {2{x_n} + 5} = \sqrt {2\lim {x_n} + \lim 5} = \sqrt {2.2 + 5} = 3\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {2x + 5} = 3\);
c) Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thỏa mãn \(\lim {x_n} = + \infty \).
Ta có: \(\lim \frac{{4 - {x_n}}}{{2{x_n} + 1}}\)\( = \lim \frac{{\frac{4}{{{x_n}}} - 1}}{{2 + \frac{1}{{{x_n}}}}}\)\( = \frac{{\lim \frac{4}{{{x_n}}} - \lim 1}}{{\lim 2 + \lim \frac{1}{{{x_n}}}}}\)\( = \frac{{0 - 1}}{{2 + 0}} = \frac{{ - 1}}{2}\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4 - x}}{{2x + 1}} = \frac{{ - 1}}{2}\).
English
French
Spanish
Russian