Đề bài
Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA. Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) với các mặt của hình chóp.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng để chứng minh: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng b nào đó nằm trong (P) thì a song song với (P).
Lời giải chi tiết
Gọi N, P, R lần lượt là trung điểm của AD, SD, SB.
Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD nên MN là đường trung bình của tam giác ABD. Do đó, MN//BD.
Vì P, R lần lượt là trung điểm của SD, SB nên PR là đường trung bình của tam giác SBD. Do đó, PR//BD.
Vì MN//BD, PR//BD nên MN//PR.
Suy ra bốn điểm M, N, P, R tạo thành mặt phẳng (MNPR).
Ta có: MN//BD, \(MN \subset \left( {MNPR} \right)\), BD không nằm trong mặt phẳng (MNPR) nên BD//(MNPR).
Chứng minh tương tự ta có: SA//(MNPR).
Vì mặt phẳng (MNPR) đi qua M và song song với BD, SA nên (MNPR) là mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Trong mặt phẳng (SAB), vẽ đường thẳng d đi qua S và d//AB//CD.
Khi đó, giả sử MR cắt d tại I, PI cắt SC tại Q. Suy ra, mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là (MNPI).
Ta có: \(MN \subset \left( {ABCD} \right),MN \subset \left( {MNPI} \right)\) nên \(\left( {MNPI} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\) hay \(\left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\).
Tương tự ta có:
\(\left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right) = NP,\left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right) = PQ,\left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right) = QR,\left( \alpha \right) \cap \left( {ABS} \right) = MR\)
English
French
Spanish
Russian