Giải bài 2 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Đề bài

Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với (DBC). Vẽ các đường cao BE, DF của tam giác BCD, đường cao DK của tam giác ACD.

a) Chứng minh hai mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với (ADC).

b) Gọi O và H là trực tâm $\mathrm{\Delta }BCD$ và $\mathrm{\Delta }ACD$. Chứng minh OH vuông góc với (ADC).

Lời giải chi tiết

a) Vì AB là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (ABD), hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với (DBC) nên $AB\mathrm{\perp }\left(BCD\right)$$\Rightarrow AB\mathrm{\perp }CD$

Mà $BE\mathrm{\perp }CD\Rightarrow CD\mathrm{\perp }\left(ABE\right)$. Lại có: $CD\subset \left(ACD\right)\Rightarrow \left(ABE\right)\mathrm{\perp }\left(ACD\right)$

Vì $AB\mathrm{\perp }\left(BCD\right)\Rightarrow AB\mathrm{\perp }DF$, mà $DF\mathrm{\perp }BC\Rightarrow DF\mathrm{\perp }\left(ABC\right)\Rightarrow DF\mathrm{\perp }AC$

Mà $DK\mathrm{\perp }AC\Rightarrow AC\mathrm{\perp }\left(DFK\right)$. Lại có: $AC\subset \left(ADC\right)\Rightarrow \left(DFK\right)\mathrm{\perp }\left(ADC\right)$

b) Vì O là giao điểm của hai đường cao BE và DF, H là giao điểm của hai đường cao AE và DK nên OH là giao tuyến của (ABE) và (DFK).

Mà $\left(ABE\right)\mathrm{\perp }\left(ACD\right),\left(DFK\right)\mathrm{\perp }\left(ADC\right)$ và nên $OH\mathrm{\perp }\left(ACD\right)$