Giải bài 43 trang 23 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

a) $y=3\sin x+5$                                            

b) $y=\sqrt{1+\cos 2x}+3$

c) $y=4-2\sin x\cos x$                                     

d) $y=\frac{1}{4-\sin x}$

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Do $-1\le \sin x\le 1\Rightarrow -3\le 3\sin x\le 3\Rightarrow 2\le 3\sin x+5\le 8$.

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số bằng 8 khi $\sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$$\left(k\in \mathbb{Z}\right)$; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2 khi $\sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$$\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

b) Hàm số xác định khi $1+\cos 2x\ge 0\iff \cos 2x\ge -1$ (luôn đúng với $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$)

Do đó, tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Vì $-1\le \cos 2x\le 1\Rightarrow 0\le 1+\cos 2x\le 2\Rightarrow 0\le \sqrt{1+\cos 2x}\le \sqrt{2}$

$\Rightarrow 3\le \sqrt{1+\cos 2x}+3\le 3+\sqrt{2}$.

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số bằng $3+\sqrt{2}$ khi $\cos 2x=1\iff 2x=k2\pi \iff x=k\pi$ $\left(k\in \mathbb{Z}\right)$; giá trị nhỏ nhất của hàm số là 3 khi $\cos 2x=-1\iff 2x=\pi +k2\pi \iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ $\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

c) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Do $\sin 2x=2\sin x\cos x$, nên $y=4-2\sin x\cos x=4-\sin 2x$.

Vì $-1\le \sin 2x\le 1\Rightarrow 1\ge -\sin 2x\ge -1\Rightarrow 5\ge 4-\sin 2x\ge 3$, nên giá trị lớn nhất của hàm số bằng 5 khi $\sin 2x=-1\iff 2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$ $\left(k\in \mathbb{Z}\right)$; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 3 khi $\sin 2x=1\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ $\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

d) Hàm số xác định khi $4-\sin x\ne 0\iff \sin x\ne 4$ (luôn đúng do $\sin x\le 1<4$ với $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$). Do đó, tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có $-1\le \sin x\le 1\Rightarrow 1\ge -\sin x\ge -1\Rightarrow 5\ge 4-\sin x\ge 3\Rightarrow \frac{1}{5}\le \frac{1}{4-\sin x}\le \frac{1}{3}$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng $\frac{1}{3}$ khi $\sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ $\left(k\in \mathbb{Z}\right)$; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $\frac{1}{5}$ khi $\sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$ $\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.