Giải bài 27 trang 51 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

2024-09-14 13:09:33

Đề bài

Cho dãy số $(u_{n})$ biết $u_{1} = - 2$ , $u_{n + 1} = \frac{u_{n}}{1 - u_{n}}$ với $n \in N^{*}$ .

Đặt $v_{n} = \frac{u_{n} + 1}{u_{n}}$ với $n \in N^{*}$ .

a) Chứng minh rằng dãy số $(v_{n})$ là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu, công sai của cấp số cộng đó.

b) Tìm công thức của $v_{n}$ , $u_{n}$ tính theo $n$ .

c) Tính tổng $S = \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{u_{2}} + \frac{1}{u_{3}} + . . . + \frac{1}{u_{20}}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chỉ ra $v_{n} = 1 + \frac{1}{u_{n}}$ , $v_{n + 1} = \frac{1}{u_{n}}$ , từ đó chứng minh được $(v_{n})$ là cấp số cộng với $v_{1} = \frac{1}{2}$ và $d = - 1$ .

b) Do $(v_{n})$ là cấp số cộng nên $v_{n} = v_{1} + (n - 1) d$ , từ đó ta tìm được công thức của $v_{n}$ theo $n$ . Do $v_{n} = 1 + \frac{1}{u_{n}}$ nên ta sẽ tìm được công thức của $u_{n}$ theo $n$ .

c) Do $v_{n} = 1 + \frac{1}{u_{n}}$ nên $S = v_{1} + v_{2} + v_{3} + . . . + v_{20} - 20$

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$v_{n} = \frac{u_{n} + 1}{u_{n}} = 1 + \frac{1}{u_{n}}$ , $v_{n + 1} = 1 + \frac{1}{u_{n + 1}} = 1 + \frac{1}{\frac{u_{n}}{1 - u_{n}}} = 1 + \frac{1 - u_{n}}{u_{n}} = \frac{u_{n} + 1 - u_{n}}{u_{n}} = \frac{1}{u_{n}}$

$\Rightarrow v_{n + 1} - v_{n} = \frac{1}{u_{n}} - (1 + \frac{1}{u_{n}}) = - 1$ .

Như vậy $(v_{n})$ là cấp số cộng với $d = - 1$ .

Số hạng đầu của dãy $(v_{n})$ là $v_{1} = 1 + \frac{1}{u_{1}} = 1 + \frac{1}{- 2} = \frac{1}{2}$

b) Vì $(v_{n})$ là cấp số cộng với số hạng đầu $v_{1} = \frac{1}{2}$ và công sai $d = - 1$ , nên ta có $v_{n} = v_{1} + (n - 1) d = \frac{1}{2} + (n - 1) (- 1) = \frac{1}{2} + 1 - n = \frac{3 - 2 n}{2}$ .

Do $v_{n} = 1 + \frac{1}{u_{n}}$ nên $\frac{3 - 2 n}{2} = 1 + \frac{1}{u_{n}} \Rightarrow \frac{1}{u_{n}} = \frac{1 - 2 n}{2} \Rightarrow u_{n} = \frac{2}{1 - 2 n}$

c) Ta có $v_{n} = 1 + \frac{1}{u_{n}}$ nên:

$S = \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{u_{2}} + \frac{1}{u_{3}} + . . . + \frac{1}{u_{20}} = (v_{1} - 1) + (v_{2} - 1) + (v_{3} - 1) + . . . + (v_{20} - 1)$

$= (v_{1} + v_{2} + v_{3} + . . . + v_{20}) - 20 = \frac{(2 v_{1} + 19 d) .20}{2} - 20 = 10 (2. \frac{1}{2} - 19) - 2 = - 200$

Bạn muốn hỏi điều gì?

Đặt Câu Hỏi

Chúng tôi sử dụng AI và sức mạnh của cộng đồng để giải quyết câu hỏi của bạn

Mẹo tìm đáp án nhanh

Search Google: "từ khóa + hoctot.me" Ví dụ: "Bài 1 trang 15 SGK Vật lí 11 hoctot.me"