Đề bài
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\), \(AD\) và \(P\) là một điểm nằm trên \(CD\). Đường thẳng \(BC\) cắt mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) tại \(Q\). Chứng minh rằng \(PQ\parallel BD\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh rằng \(MN\parallel BD\).
Xét ba mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\), \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\), sử dụng định lí về giao tuyến của 3 mặt phẳng.
Lời giải chi tiết
Ta có \(M\) là trung điểm của \(AB\), \(N\) là trung điểm của \(AD\), nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\). Suy ra \(MN\parallel BD\).
Xét ba mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\), \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\), ta có \(MN\) là giao tuyến của \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\); \(PQ\) là giao tuyến của \(\left( {BCD} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\), \(BD\) là giao tuyến của \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\).
Mà \(MN\parallel BD\), nên theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng, ta suy ra \(PQ\parallel BD\).
Bài toán được chứng minh.
English
French
Spanish
Russian