Giải bài 23 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho tứ diện$ABCD$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AD$, $BC$, $CD$. Chứng minh rằng giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(APQ\right)$ và $\left(CMN\right)$ song song với đường thẳng $BD$.

Lời giải chi tiết

Gọi $\left\{I\right\}=MC\cap AP$, $\left\{J\right\}=NC\cap AQ$.

Do $MC\subset \left(CMN\right)$, $AP\subset \left(APQ\right)$ nên suy ra $I\in \left(APQ\right)\cap \left(CMN\right)$.

Tương tự ta cũng có $J\in \left(APQ\right)\cap \left(CMN\right)$. Như vậy $IJ$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(APQ\right)$ và $\left(CMN\right)$.

Ta có $M$ là trung điểm của $AB$, $N$ là trung điểm của $AD$, suy ra $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABD$. Từ đó ta có $MN\parallel BD$.

Do $MN\subset \left(CMN\right)$, ta suy ra $BD\parallel \left(CMN\right)$.

Chứng minh tương tự, ta cũng có $BD\parallel \left(APQ\right)$.

Ta có $BD\parallel \left(CMN\right)$, $BD\parallel \left(APQ\right)$, $IJ$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(APQ\right)$ và $\left(CMN\right)$. Vậy $BD\parallel IJ$.

Bài toán được chứng minh.