Giải bài 58 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AD$; $P$, $Q$ lần lượt thuộc các cạnh $CD$, $BC$ ($P$, $Q$ không là trung điểm của $CD$, $BC$). Chứng minh rằng nếu $M$, $N$, $P$, $Q$ cùng thuộc một mặt phẳng thì ba đường thẳng $MQ$, $NP$ và $AC$ cùng đi qua một điểm.

Lời giải chi tiết

Xét $\left(ADC\right)$, do $P$ không là trung điểm của $CD$, nên đường thẳng $NP$ cắt đường thẳng $AC$. Gọi $I$ là giao điểm của $NP$ và $AC$.

Ta có $I\in \left(MNPQ\right)$ (do $I$ nằm trên $NP$) và $I\in \left(ABC\right)$ (do $I$ nằm trên $AC$). Như vậy $I$ nằm trên giao tuyến của $\left(MNPQ\right)$ và $\left(ABC\right)$.

Ta nhận thấy rằng $\{\begin{array}{l}M\in \left(MNPQ\right)\\ M\in AB\subset \left(ABC\right)\end{array}\Rightarrow M\in \left(MNPQ\right)\cap \left(ABC\right)$, và

$\{\begin{array}{l}Q\in \left(MNPQ\right)\\ Q\in BC\subset \left(ABC\right)\end{array}\Rightarrow Q\in \left(MNPQ\right)\cap \left(ABC\right)$.

Do đó giao tuyến của $\left(MNPQ\right)$ và $\left(ABC\right)$ là đường thẳng $MQ$.

Mà $I$ nằm trên giao tuyến của $\left(MNPQ\right)$ và $\left(ABC\right)$, nên $I\in MQ$.

Vậy $MQ$, $NP$ và $AC$ cùng đi qua điểm $I$.

Bài toán được chứng minh.