Giải bài 57 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SD$.

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(SAC\right)$ và $\left(SBD\right)$.

b) Xác định giao điểm của đường thẳng $BM$ với mặt phẳng $\left(SAC\right)$.

c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng $\left(MBC\right)$ với các mặt phẳng $\left(SAB\right)$ và $\left(SAD\right)$.

Lời giải chi tiết

a) Trên mặt phẳng $\left(ABCD\right)$, gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Do $AC\subset \left(SAC\right)$, $BD\subset \left(SBD\right)$ nên $O$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $\left(SAC\right)$ và $\left(SBD\right)$.

Mặt khác, ta có $S\in \left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)$. Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(SAC\right)$ và $\left(SBD\right)$ là đường thẳng $SO$.

b) Nhận xét rằng $BM\subset \left(SBD\right)$. Trên $\left(SBD\right)$, gọi $E$ là giao điểm của $BM$ và $SO$.

Do $SO\subset \left(SAC\right)$, nên $\left\{E\right\}=BM\cap \left(SAC\right)$.

Vậy $E$ là giao điểm của $BM$ và $\left(SAC\right)$.

c) Nhận xét rằng $CE\subset \left(SAC\right)$. Trên $\left(SAC\right)$, gọi $F$ là giao điểm của $CE$ và $SA$.

Do $E\in BM$, mà $BM\subset \left(MBC\right)$ nên $E\in \left(MBC\right)$. Suy ra $CE\subset \left(MBC\right)$.

Xét hai mặt phẳng $\left(MBC\right)$ và $\left(SAB\right)$.

Ta có $\{\begin{array}{l}F\in CE\subset \left(MBC\right)\\ F\in SA\subset \left(SAB\right)\end{array}\Rightarrow F\in \left(MBC\right)\cap \left(SAB\right)$.

Mặt khác, vì $B\in \left(MBC\right)\cap \left(SAB\right)$, nên giao tuyến của $\left(MBC\right)$ và $\left(SAB\right)$ là đường thẳng $BF$.

Xét hai mặt phẳng $\left(MBC\right)$ và $\left(SAD\right)$.

Ta có $\{\begin{array}{l}F\in CE\subset \left(MBC\right)\\ F\in SA\subset \left(SAD\right)\end{array}\Rightarrow F\in \left(MBC\right)\cap \left(SAD\right)$.

Mặt khác, ta lại có $\{\begin{array}{l}M\in \left(MBC\right)\\ M\in SD\subset \left(SAD\right)\end{array}\Rightarrow M\in \left(MBC\right)\cap \left(SAD\right)$.

Như vậy, giao tuyến của $\left(MBC\right)$ và $\left(SAD\right)$ là đường thẳng $MF$.