Giải bài 26 trang 99 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$. Gọi $I$ là hình chiếu của $A$ trên đường thẳng $BC$, $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $SI$ và mặt phẳng $\left(ABC\right)$, $\beta$ là số đo của góc nhị diện $\left[S,BC,A\right]$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\alpha ={90}^o-\beta$

B. $\alpha ={180}^o-\beta$

C. $\alpha ={90}^o+\beta$

D. $\alpha =\beta$

Lời giải chi tiết

Do $SA\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$, ta suy ra hình chiếu của $S$ trên $\left(ABC\right)$ là điểm $A$.

Suy ra góc giữa $SI$ và $\left(ABC\right)$ chính là góc $\widehat{SIA}$, tức là $\alpha =\widehat{SIA}$.

Mặt khác, do $SA\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$, ta suy ra $SA\mathrm{\perp }BC$. Mà theo đề bài, $AI\mathrm{\perp }BC$ nên ta suy ra $\left(SAI\right)\mathrm{\perp }BC$, từ đó $SI\mathrm{\perp }BC$.

Như vậy, do $SI\mathrm{\perp }BC$, $AI\mathrm{\perp }BC$, nên $\widehat{SIA}$ chính là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $\left[S,BC,A\right]$, tức là $\beta =\widehat{SIA}$.

Vậy ta suy ra $\alpha =\beta$.

Đáp án đúng là D.