Giải bài 48 trang 110 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=2a$, $AD=3a$, tam giác $\left(SAB\right)$ vuông cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $\left(ABCD\right)$. Tính khoảng cách:

a) Từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left(SAB\right)$.

b) Giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$.

c) Giữa hai đường thẳng $BC$ và $SA$.

d) Từ điểm $S$ đến mặt phẳng $\left(ABCD\right)$.

Lời giải chi tiết

a) Gọi $H$ là trung điểm của $AB$. Do tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ nên ta có $SA\mathrm{\perp }SB$ và $SH\mathrm{\perp }AB$. Hơn nữa, do $\left(SAB\right)\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$ và $AB$ là giao tuyến của 2 mặt phẳng đó, ta suy ra $SH\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$. Từ đó $SH\mathrm{\perp }BC$.

Do $ABCD$ là hình chữ nhật, ta suy ra $AB\mathrm{\perp }BC$. Như vậy, do $SH\mathrm{\perp }BC$, $AB\mathrm{\perp }BC$ ta suy ra $\left(SAB\right)\mathrm{\perp }BC$. Như vậy $B$ là hình chiếu của $C$ trên mặt phẳng $\left(SAB\right)$, từ đó khoảng cách cần tính là đoạn thẳng $BC$. Mà $BC=3a$, nên khoảng cách từ điểm $C$ đến $\left(SAB\right)$ là $3a$.

b) Do $ABCD$ là hình chữ nhật, ta suy ra $CD\parallel AB$, mà $AB\subset \left(SAB\right)$ nên $CD\parallel \left(SAB\right)$. Hơn nữa, do $SB\subset \left(SBC\right)$, nên khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$ cũng chính là khoảng cách giữa $CD$ và $\left(SBC\right)$, và nó cũng bằng khoảng cách từ điểm $C$ đến $\left(SBC\right)$. Theo câu a, khoảng cách này chính là đoạn thẳng $BC$, tức là khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$ bằng $3a$.

c) Theo câu a, ta có $SA\mathrm{\perp }SB$. Hơn nữa, ta cũng có $\left(SAB\right)\mathrm{\perp }BC$ nên $SB\mathrm{\perp }BC$. Như vậy, $SB$ là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng $SA$ và $BC$, điều này có nghĩa khoảng cách giữa $SA$ và $BC$ là đoạn thẳng $SB$.

Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ nên ta có $A{B}^2=2S{B}^2\Rightarrow SB=\frac{AB}{\sqrt{2}}$

Mà $AB=2a$ nên $SB=\frac{2a}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$.

Vậy khoảng cách giữa $SA$ và $BC$ là $a\sqrt{2}$.

d) Theo câu a, ta có $SH\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$. Điều này có nghĩa khoảng cách từ $S$ đến $\left(ABCD\right)$ là đoạn thẳng $SH$.

Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ có đường trung tuyến $SH$ nên ta có $SH=\frac{AB}{2}=\frac{2a}{2}=a$.

Vậy khoảng cách từ $S$ đến $\left(ABCD\right)$ là $a$.