Giải bài 54 trang 117 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho khối tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Tính:

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$.

b) Chiều cao và thể tích của khối tứ diện đều $ABCD$.

c) Côsin của góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $\left(BCD\right)$.

d) Côsin của số đo góc nhị diện $\left[C,AB,D\right]$.

Lời giải chi tiết

a) Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Do $ABCD$ là tứ diện đều, ta suy ra các tam giác $ABC$, $ABD$, $ACD$, $BCD$ là các tam giác đều.

Tam giác $ABC$ đều có $M$ là trung điểm của $AB$, nên ta có $CM\mathrm{\perp }AB$. Chứng minh tương tự ta có $DM\mathrm{\perp }AB$.

Như vậy, do $CM\mathrm{\perp }AB$, $DM\mathrm{\perp }AB$ nên $\left(CDM\right)\mathrm{\perp }AB$, điều này suy ra $MN\mathrm{\perp }AB$. Chứng minh tương tự, ta cũng suy ra $MN\mathrm{\perp }CD$.

Vậy $MN$ là đường vuông góc chưng của hai đường thẳng $AB$ và $CD$, từ đó khoảng cách giữa $AB$ và $CD$ là đoạn thẳng $MN$.

Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$, đường cao $CM$ nên ta có $CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tương tự, ta cũng có $DM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vì $N$ là trung điểm của $CD$ nên $CN=\frac{1}{2}CD=\frac{a}{2}$.

Tam giác $CMN$vuông tại $N$, nên$MN=\sqrt{C{M}^2-C{N}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

b) Gọi $E$ là hình chiếu của $A$ trên $\left(BCD\right)$. Ta có $AE$ là đường cao của tứ diện $ABCD$.

Do $ABCD$ là tứ diện đều, nên $E$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $BCD$. Do $BCD$ là tam giác đều, nên $E$ cũng là trọng tâm của tam giác $BCD$. Mà $N$ là trung điểm của $CD$, nên ta có $BE=\frac{2}{3}BN$.

Tam giác $BCD$ đều cạnh $a$, đường cao $BN$ nên ta có $BN=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Suy ra $BE=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{2}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Tam giác $ABE$ vuông tại $E$, nên $AE=\sqrt{A{B}^2-B{E}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Vậy chiều cao của tứ diện đều là $\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Do đáy $BCD$ là tam giác đều cạnh $a$, nên diện tích đáy của tứ diện là $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Vậy thể tích của khối tứ diện $ABCD$ là $V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.

c) Do $E$ là hình chiếu của $A$ trên $\left(BCD\right)$, nên góc giữa $AB$ và $\left(BCD\right)$ là góc $\widehat{ABE}$.

Tam giác $ABE$ vuông tại $E$, nên ta có $\cos \widehat{ABE}=\frac{BE}{AB}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Vậy côsin góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $\left(BCD\right)$ là $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

d) Theo câu a, ta có $CM\mathrm{\perp }AB$ và $DM\mathrm{\perp }AB$, nên $\widehat{CMD}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $\left[C,AB,D\right]$.

Áp dụng định lí cos trong tam giác $CMD$, ta có

$\cos \widehat{CMD}=\frac{C{M}^2+M{D}^2-C{D}^2}{2CM.MD}=\frac{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2-a^2}{2.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{3}$.

Vậy côsin của số đo góc nhị diện $\left[C,AB,D\right]$ bằng $\frac{1}{3}$.