Đề thi học kì 2 Toán 11 - Đề số 6

\(\sqrt[3]{{{x^2}\sqrt x }} = \sqrt[3]{{{x^2}.{x^{\frac{1}{2}}}}} = \sqrt[3]{{{x^{\frac{5}{2}}}}} = {x^{\frac{5}{6}}}\)

Đáp án B.

Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}}\)

Đáp án C.

Ta có: \(y' = \frac{{\left( {x + 9} \right) - \left( {x + 6} \right)}}{{{{\left( {x + 9} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {x + 9} \right)}^2}}}\).

Đáp án C.

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {{x^2} - 7} \right) = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 7 = {3^2}}\\{ \Leftrightarrow {x^2} - 7 = 9}\\{ \Leftrightarrow {x^2} = 16}\\{ \Leftrightarrow x = {\rm{ \;}} \pm 4(tm)}\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ { - 4;4} \right\}\)

Đáp án A.

\(\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x \Rightarrow f''\left( x \right) = 6x - 6}\\{ \Rightarrow f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1}\end{array}\)

Đáp án D.

Ta có: \(y = 2{x^2} - 3x + 7\)\( \Rightarrow y' = 4x - 3\)

Đáp án A.

Ta có \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)\).

Vì A,B là hai biến cố xung khắc nên \(A \cap B = \emptyset \). Từ đó suy ra \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).

Đáp án A.

Từ giả thiết ta thấy \(OA \bot (OBC)\) và OBC là tam giác vuông nên thể tích cần tìm là:

\({V_{O.ABC}} = \frac{1}{3}OA.{S_{OBC}} = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{{{a^3}}}{6}\)

Đáp án D.

\(\frac{1}{{{2^x}}} > 8 \Leftrightarrow {2^{ - x}} > {2^3} \Leftrightarrow {\rm{ \;}} - x > 3 \Leftrightarrow x < {\rm{ \;}} - 3\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\)

Đáp án B.

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA}\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB} \right.\).

Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC}\\{BC \bot AB}\\{BC \bot SB}\end{array} \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \angle } \right.SBA\).

Xét  vuông tại \(A\), ta có: \({\rm{tan}}\widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 {\rm{ \;}} \Rightarrow \widehat {SBA} = 60^\circ \).

Đáp án D.

Ta có: \(y' = 2cos3x.\left( { - \sin 3x} \right).3 = {\rm{ \;}} - 6\sin 3x.cos3x = {\rm{ \;}} - 3\sin 6x\)

Đáp án C.

Gọi \({\rm{A}}\) là biến cố: "Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ. "

Gọi \(X\) là biến cố: "người thứ nhất ném trúng rổ" \( \Rightarrow P\left( X \right) = \frac{1}{5}\).

Gọi Y là biến cố: "người thứ hai ném trúng rổ" \( \Rightarrow P\left( Y \right) = \frac{2}{7}\).

Ta thấy biến cố X,Y là 2 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:

\(P\left( A \right) = P\left( {X \cdot Y} \right) = P\left( X \right) \cdot P\left( Y \right) = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{7} = \frac{2}{{35}}\).

Đáp án D.

\((SC,\widehat {(ABD})) = (SC;\widehat {(ABCD})) = (\widehat {SC;AC}) = \widehat {SCA}.\)

Xét tam giác vuông SAC, ta có:

\(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{SA}}{{\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{{\sqrt {{a^2} + {{(2a)}^2}} }} = \sqrt 3 .\)

Suy ra \(\widehat {SCA} = {60^\circ }\).

Đáp án B.

ĐKXĐ: \(x \ne  - 1\)

Ta có \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}} \Rightarrow y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

Vì tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng \(2x - y - 1 = 0 \Leftrightarrow y = 2x - 1\). Khi đó ta có \(\frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 2 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x =  - 2}\end{array}} \right.\).

Với \(x = 0 \Rightarrow y = {\rm{ \;}} - 1\) \( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến là \(y = 2\left( {x - 0} \right) - 1 = 2x - 1\) (loại)

Với \(x = {\rm{ \;}} - 2 \Rightarrow y = 3\) \( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến là \(y = 2\left( {x + 2} \right) + 3 = 2x + 7\) (thỏa mãn) \( \Rightarrow \) Tọa độ tiếp điểm là \(\left( { - 2;3} \right)\).

Vậy tọa độ tiếp điểm cần tìm là \(\left( { - 2;3} \right)\).

Đáp án A.

Ta có: \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {A'B,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {A'B,AB} \right) = \widehat {A'BA}\)

Theo giả thiết \(\widehat {A'BA} = 60^\circ \)

Lại có: \(\tan 60^\circ  = \frac{{AA'}}{{AB}} \Rightarrow AA' = AB\tan 60^\circ  = a\sqrt 3 \)

Thể tích khối lăng trụ đã cho là \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = a\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^3}}}{4}\)

Đáp án C.

Thể tích của khối chóp là \(V = \frac{1}{3}.7{a^2}.9a = 21{a^3}\)

Đáp án B.

a) Sai. Vì \(A \cup B\) là biến cố: “xạ thủ A bắn trúng hoặc xạ thủ B bắn trúng”.

b) Sai. Vì biến cố \(A \cap B\) nằm trong \(A \cup B\).

c) Sai. Vì xác suất để A và B bắn trượt lần lượt là: 0,3 và 0,4. Xác suất cả hai người bắn trượt là: 0,06

d) Đúng. Vì xác suất để có ít nhất một người bắn trúng đích là biến cố đối của biến cố cả hai người đều bắn trượt: 1 – 0,06  = 0,94

a) Sai.

Gọi \(M\) là trung điểm BC, Góc giữa mặt bên \((SBC)\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là góc \(\widehat {SMO} = 60^\circ \).

Xét \(\Delta SOM\) có \(OM = \frac{a}{2},SMO = 60^\circ \) thì

 \(SO = OM \cdot \tan \widehat {SMO} = \frac{a}{2} \cdot \sqrt 3  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Nên \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO{S_{AGCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}(dvtt)\).

b) Đúng.

Đúng. Xét \(\Delta SOB\) vuông tại O ta có:

\(SB = \sqrt {O{M^2} + O{B^2}}  = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{2{a^2}}}{4}}  = \frac{{\sqrt 5 a}}{2}\).

c) Đúng.

Kẻ OH vuông góc với SM khi đó \(d\left( {O;\left( {SCB} \right)} \right) = OH\)

Xét \(\Delta SOM\)vuông tại O có: \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{{16}}{{3{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

d) Sai

Vì \(AD//CB\) mà \(CB \subset \left( {SBC} \right)\) nên

\(d\left( {AD;SC} \right) = d\left( {AD;\left( {SCB} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCB} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SCB} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

a) Sai

Ta có: \(g'\left( x \right) = 6{x^2} - 6 \Rightarrow g'\left( 3 \right) = 48\)

Ta có \(x = 3 \Rightarrow g\left( 3 \right) = 37 \Rightarrow A\left( {3;37} \right)\)

Phương trình tiếp tuyến qua điểm \(A\left( {3;37} \right)\) là: \(y = 48\left( {x - 3} \right) + 37 \Rightarrow y = 3x - 107\)

b) Đúng.

Phương trình tiếp tuyến của \(g\left( x \right)\) song song với đường thẳng \(y =  - 6x - 5\) nên ta có hệ số góc bẳng \( - 6\)

\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 6{x^2} - 6 =  - 6 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow g\left( 0 \right) = 1\) vậy \(B\left( {0;1} \right)\)

Phương trình tiếp tuyến qua điểm \(B\left( {0;1} \right)\) là: \(y =  - 6\left( {x - 0} \right) + 1 =  - 6x + 1\)

c) Sai

Ta có \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - m{x^2} + 2mx - 3 = 6{x^2} - 6\\ \Leftrightarrow \left( {m + 6} \right){x^2} - 2mx - 3 = 0\end{array}\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

\(\left\{ \begin{array}{l}m + 6 \ne 0\\\Delta ' = {m^2} + 3\left( {m + 6} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 6\\\Delta ' = {m^2} + 3\left( {m + 6} \right) > 0,\forall m \in \mathbb{R}\end{array} \right.\)

Vậy để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(m \ne  - 6\).

d) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(f'(x) \le 0\forall x \in \mathbb{R}\).

\(f(x) =  - \frac{m}{3}{x^3} + m{x^2} - 3x + 9\)

\( \Rightarrow f'(x) =  - m{x^2} + 2mx - 3\)

\(f'(x) \le 0\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow  - m{x^2} + 2mx - 3 \le 0\forall x \in \mathbb{R}\)

\({\rm{TH1: }}m = 0 \Rightarrow f'(x) =  - 3 \le 0\forall x \in \mathbb{R}{\rm{ }}\)

\({\rm{TH2: }}m \ne 0\)

\( - m{x^2} + 2mx - 3 \le 0\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - m < 0}\\{\Delta ' = {m^2} - 3m \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{0 \le m \le 3}\end{array} \Leftrightarrow 0 < m \le 3} \right.} \right.\)

Vậy \(0 \le m \le 3\).

\(s = {t^3} - 3{t^2} - 9t \Rightarrow v(t) = 3{t^2} - 6t - 9 \Rightarrow a(t) = 6t - 6\)

\(v = 0 \Rightarrow 3{t^2} - 6t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 3\).

Vậy \(a(3) = 6.3 - 6 = 12\left( {\;{\rm{m}}/{{\rm{s}}^2}} \right)\).

A, B là hai biến cố bất kỳ ta luôn có:

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = 1\)

\({n_\Omega } = C_{10}^3 = 120\)

Gọi \({\rm{A}}\) là biến cố: "Chọn được 3 số tự nhiên có tích là 1 số chẵn"

\(\bar A\) : "Chọn được 3 số tự nhiên có tích là 1 số lẻ".

Để chọn được 3 số tự nhiên có tích là 1 số lẻ thì cả 3 số phải cùng lẻ

\( \Rightarrow {n_{\bar A}} = C_6^3 = 20 \Rightarrow {n_A} = 120 - 20 = 100.\)

Vậy \(P(A) = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\).

Ta có: \(AA' \bot (ABC) \Rightarrow \left( {A'B,(ABC)} \right) = \left( {A'B,AB} \right) = \widehat {A'BA}\)

Theo giả thiết \(\widehat {A'BA} = 60^\circ \)

Lại có: \(\tan 60^\circ  = \frac{{AA'}}{{AB}} \Rightarrow AA' = AB\tan 60^\circ  = a\sqrt 3 \)

Thể tích khối lăng trụ đã cho là \({V_{ABC \cdot A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = a\sqrt 3  \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^3}}}{4}\)

Ta có: \({27^{2x - 3}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{{x^2} + 2}} \Leftrightarrow {3^{6x - 9}} = {3^{ - {x^2} - 2}}\)

 \( \Leftrightarrow 6x - 9 =  - {x^2} - 2 \Leftrightarrow {x^2} + 6x - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x =  - 7}\end{array}} \right.{\rm{ }}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(\{ 1; - 7\} \)

\(\log _a^2\left( {{a^2}b} \right) \cdot {\log _a}\frac{b}{a} + 4 = 0{\rm{ }}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}{a^2} + {{\log }_a}b} \right)^2} \cdot \left( {{{\log }_a}b - {{\log }_a}a} \right) =  - 4\)

\( \Leftrightarrow {\left( {2 + {{\log }_a}b} \right)^2} \cdot \left( {{{\log }_a}b - 1} \right) =  - 4\)

\( \Leftrightarrow \left( {\log _a^2b + 4{{\log }_a}b + 4} \right)\left( {{{\log }_a}b - 1} \right) =  - 4\)

\( \Leftrightarrow \log _a^3b + 4\log _a^2b + 4{\log _a}b - \log _a^2b - 4{\log _a}b - 4 =  - 4\)

\( \Leftrightarrow \log _a^3b + 3\log _a^2b = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_a}b = 0}\\{{{\log }_a}b =  - 3}\end{array}} \right.\)

Vậy \(S = \left\{ {0; - 3} \right\}\).