Cho số thực dương a và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\), trong đó \(m,n \in \mathbb{Z},n > 0\). Ta có:
- A \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[{nm}]{a}\).
- B \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[m]{{{a^n}}}\).
- C \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\).
- D \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{\sqrt[m]{a}}}\).
Đáp án : C
Cho số thực dương a và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\), trong đó \(m,n \in \mathbb{Z},n > 0\). Ta có: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\)
Cho số thực dương a và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\), trong đó \(m,n \in \mathbb{Z},n > 0\). Ta có: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\)
Đáp án C.
Chọn đáp án đúng
Cho a, b là những số thực dương, \(\alpha \) là số thực bất kì. Khi đó:
- A \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}\).
- B \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{a}{{{b^\alpha }}}\).
- C \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{b}\).
- D Cả A, B, C đều sai.
Đáp án : A
Cho a, b là những số thực dương, \(\alpha \) là số thực bất kì. Khi đó, \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}\).
Cho a, b là những số thực dương, \(\alpha \) là số thực bất kì. Khi đó, \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}\).
Đáp án A.
Chọn đáp án đúng:
- A \({\left( {\sqrt[3]{5}} \right)^2} = \sqrt[6]{5}\).
- B \({\left( {\sqrt[3]{5}} \right)^2} = \sqrt[3]{{10}}\).
- C \({\left( {\sqrt[3]{5}} \right)^2} = \sqrt {{5^{^3}}} \).
- D \({\left( {\sqrt[3]{5}} \right)^2} = \sqrt[3]{{{5^2}}}\).
Đáp án : D
\({\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\) (với các biểu thức đều có nghĩa).
Ta có: \({\left( {\sqrt[3]{5}} \right)^2} = \sqrt[3]{{{5^2}}}\).
Đáp án D.
Rút gọn biểu thức \({\left( {{a^{\sqrt 3 }}.{b^{\frac{{ - 6}}{{\sqrt 3 }}}}} \right)^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}\) (với \(a,b > 0\)) được kết quả là:
- A \({a^2}\).
- B \(\frac{a}{{{b^2}}}\).
- C \(\frac{b}{a}\).
- D \(a{b^2}\).
Đáp án : B
\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}},{a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\) (a khác 0).
\({\left( {{a^{\sqrt 3 }}.{b^{\frac{{ - 6}}{{\sqrt 3 }}}}} \right)^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}} = {\left( {{a^{\sqrt 3 }}} \right)^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}.{\left( {{b^{\frac{{ - 6}}{{\sqrt 3 }}}}} \right)^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}} = a.{b^{\frac{{ - 6}}{3}}} = \frac{a}{{{b^2}}}\)
Đáp án B.
Giá trị của biểu thức \({\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^{2024}}.{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{2025}}\)
- A \(\sqrt 5 + 2\).
- B \(\sqrt 5 - 2\).
- C \( - \sqrt 5 + 2\).
- D \( - \sqrt 5 - 2\).
Đáp án : A
\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}},{a^m}.{b^m} = {\left( {a.b} \right)^m},{a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\) (a khác 0).
\({\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^{2024}}.{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{2025}} = {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^{2024}}.{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{2024}}.\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\)
\( = {\left[ {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)\left( {\sqrt 5 + 2} \right)} \right]^{2024}}.\left( {\sqrt 5 + 2} \right) = {\left( {5 - 4} \right)^{2024}}\left( {\sqrt 5 + 2} \right) = \sqrt 5 + 2\)
Đáp án A.
Chọn đáp án đúng.
Với \(0 < a \ne 1,b,c > 0\) thì:
- A \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\).
- B \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b.{\log _a}c\).
- C \({\log _a}\left( {bc} \right) = \frac{1}{2}{\log _a}b.{\log _a}c\).
- D \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b - {\log _a}c\).
Đáp án : A
Với \(0 < a \ne 1,b,c > 0\) thì \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\).
Với \(0 < a \ne 1,b,c > 0\) thì \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\).
Đáp án A.
Chọn đáp án đúng.
Với a, b, c là các số dương và \(a \ne 1,b \ne 1\) thì:
- A \({\log _a}c = {\log _b}c.{\log _b}a\).
- B \({\log _a}c = \frac{{{{\log }_b}c}}{{{{\log }_b}a}}\).
- C \({\log _a}c = {\log _b}c + {\log _b}a\).
- D \({\log _a}c = \frac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_b}c}}\).
Đáp án : B
Với a, b, c là các số dương và \(a \ne 1,b \ne 1\) thì \({\log _a}c = \frac{{{{\log }_b}c}}{{{{\log }_b}a}}\).
Với a, b, c là các số dương và \(a \ne 1,b \ne 1\) thì \({\log _a}c = \frac{{{{\log }_b}c}}{{{{\log }_b}a}}\).
Đáp án B.
Khẳng định nào sau đây đúng?
- A Lôgarit tự nhiên của số thực dương a kí hiệu là \(\frac{1}{{\ln a}}\).
- B Lôgarit tự nhiên của số thực dương của a kí hiệu là \(\log a\).
- C Lôgarit tự nhiên của số thực dương a kí hiệu là \(\frac{1}{{\log a}}\).
- D Lôgarit tự nhiên của số thực dương a kí hiệu là \(\ln a\).
Đáp án : D
Lôgarit cơ số e của số thực dương b được gọi là lôgarit tự nhiên của b và kí hiệu ln b.
Lôgarit tự nhiên của số thực dương a kí hiệu là \(\ln a\).
Đáp án D.
Tính \({\log _8}1250\) theo a biết \(a = {\log _2}5\).
- A \({\log _8}1250 = 4a + 3\).
- B \({\log _8}1250 = \frac{4}{3}a + \frac{1}{3}\).
- C \({\log _8}1250 = 2a + \frac{1}{3}\).
- D \({\log _8}1250 = 2a - \frac{1}{3}\).
Đáp án : B
Với a, b là số thực dương và \(a \ne 1\) thì \({\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b,\log {\,_a}a = 1\), \({\log _{{a^\alpha }}}b = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b\)
Với a là số thực dương, \(a \ne 1\), \(M > 0,N > 0\) thì \({\log _a}MN = {\log _a}M + {\log _a}N\).
\({\log _8}1250 = {\log _{{2^3}}}\left( {{5^4}.2} \right) = \frac{1}{3}\left( {{{\log }_2}{5^4} + {{\log }_2}2} \right) = \frac{4}{3}{\log _2}5 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}a + \frac{1}{3}\)
Đáp án B.
Chọn đáp án đúng:
- A \({\log _a}\left( {{a^2}\sqrt[3]{{a\sqrt a }}} \right) = \frac{5}{2}\).
- B \({\log _a}\left( {{a^2}\sqrt[3]{{a\sqrt a }}} \right) = 1\).
- C \({\log _a}\left( {{a^2}\sqrt[3]{{a\sqrt a }}} \right) = \frac{5}{4}\).
- D \({\log _a}\left( {{a^2}\sqrt[3]{{a\sqrt a }}} \right) = \frac{5}{3}\).
Đáp án : A
Với a, b là số thực dương và \(a \ne 1\) thì \(\log {\,_a}a = 1;{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b,{\log _a}{a^\alpha } = \alpha \).
\({\log _a}\left( {{a^2}\sqrt[3]{{a\sqrt a }}} \right) = {\log _a}\left( {{a^2}{{\left( {a.{a^{\frac{1}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}} \right) = {\log _a}\left( {{a^2}.{a^{\frac{1}{2}}}} \right) = {\log _a}{a^{\frac{5}{2}}} = \frac{5}{2}\)
Đáp án A.
Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) đi qua điểm:
- A \(A\left( {1;0} \right)\).
- B \(B\left( {0;1} \right)\).
- C \(C\left( {0; - 1} \right)\).
- D \(D\left( {a;0} \right)\).
Đáp án : A
Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) đi qua điểm \(\left( {1;0} \right)\) và điểm \(\left( {a;1} \right)\).
Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) đi qua điểm \(\left( {1;0} \right)\).
Đáp án A.
Hàm số nào dưới đây là hàm số lôgarit cơ số 2?
- A \(y = {2^x}\).
- B \(y = {\log _x}2\).
- C \(y = {\log _2}x\).
- D \(y = \ln \left( {2x} \right)\).
Đáp án : C
Hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.
Hàm số \(y = {\log _2}x\) có cơ số là 2.
Đáp án C.
Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?
- A \(y = {2^x}\).
- B \(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\).
- C \(y = {e^x}\).
- D \(y = {\pi ^x}\).
Đáp án : B
Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm số \(y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Vì \(0 < \frac{1}{2} < 1\) nên hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Đáp án B.
Tập giá trị của hàm số \(y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) là:
- A \(T = \mathbb{R}\).
- B \(T = \left( { - \infty ;0} \right)\).
- C \(T = \left( {0; + \infty } \right)\).
- D \(T = \left( { - 1;1} \right)\).
Đáp án : C
Tập giá trị của hàm số \(y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) là \(T = \left( {0; + \infty } \right)\).
Tập giá trị của hàm số \(y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) là \(T = \left( {0; + \infty } \right)\).
Đáp án C.
Tập xác định của hàm số \(y = {8^{\sqrt {{x^2} - 4} }}\) là:
- A \(D = \left( { - 2;2} \right)\).
- B \(D = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).
- C \(D = \left[ { - 2;2} \right]\).
- D \(D = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
Đáp án : B
Hàm số \(y = \sqrt {u\left( x \right)} \) xác định khi \(u\left( x \right) \ge 0\).
Hàm số \(y = {8^{\sqrt {{x^2} - 4} }}\) xác định khi \({x^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le - 2\end{array} \right.\)
Vậy tập xác định của hàm số \(y = {8^{\sqrt {{x^2} - 4} }}\) là: \(D = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)
Đáp án B.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}x\). Biết rằng: \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right]} y = M,\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right]} y = m\). Khi đó:
- A \(M.m = 2\).
- B \(M.m = - 1\).
- C \(M.m = 4\).
- D \(M.m = 1\).
Đáp án : B
Cho hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\):
+ Nếu \(a > 1\) thì hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
+ Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Hàm số \(y = f\left( x \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}x\) có \(0 < \frac{1}{{\sqrt 3 }} < 1\) nên nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right]} y = f\left( {\frac{1}{3}} \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}\frac{1}{3} = 2,\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right]} y = f\left( 3 \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}3 = - 2\)
Do đó, \(M.m = - 1\)
Đáp án B.
Mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định có dạng \(\left[ {a;b} \right)\). Độ dài của nhóm \(\left[ {a;b} \right)\) là:
- A \(a + b\).
- B \(a - b\).
- C \(b - a\).
- D \(b + 2a\).
Đáp án : C
Mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định có dạng \(\left[ {a;b} \right)\). Độ dài của nhóm \(\left[ {a;b} \right)\) là \(b - a\).
Mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định có dạng \(\left[ {a;b} \right)\). Độ dài của nhóm \(\left[ {a;b} \right)\) là \(b - a\).
Đáp án C.
Cho hai biến cố A và B. Chọn đáp án đúng.
- A \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) + P\left( {A \cap B} \right)\).
- B \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)\).
- C \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).
- D \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
Đáp án : B
Cho hai biến cố A và B. Khi đó \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)\)
Cho hai biến cố A và B. Khi đó \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)\)
Đáp án B.
Kết quả kiểm tra môn Tiếng Anh của lớp 11E được cho ở bảng tần số ghép nhóm sau:
Nhóm \(\left[ {7;9} \right)\) có tần số là:
- A 6.
- B 10.
- C 16.
- D 9.
Đáp án : C
Bảng tần số ghép nhóm cho ở bảng dưới:
Trong đó, mẫu số liệu gồm n số liệu được chia thành m nhóm ứng với m nửa khoảng \(\left[ {{a_1};{a_2}} \right)\); \(\left[ {{a_2};{a_3}} \right)\);...; \(\left[ {{a_m};{a_{m + 1}}} \right)\), ở đó \({a_1} < {a_2} < {a_3} < ... < {a_m} < {a_{m + 1}}\) và \(n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_m}\).
Nhóm \(\left[ {7;9} \right)\) có tần số là 16.
Đáp án C.
Cho hai biến cố A và B, biến cố giao của hai biến cố A và B kí hiệu là:
- A \(A \cup B\).
- B \(A \cap B\).
- C \(\frac{A}{B}\).
- D \(A + B\).
Đáp án : B
Biến cố giao của hai biến cố A và B kí hiệu là \(A \cap B\).
Biến cố giao của hai biến cố A và B kí hiệu là \(A \cap B\).
Đáp án B.
Một hộp có 12 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1; 2; 3; …; 12; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp. Gọi A là biến cố: “Số xuất hiện trên thẻ rút ra là số chia hết cho 3”, B là biến cố: “Số xuất hiện trên thẻ rút ra là số chia hết cho 2”. Chọn đáp án đúng.
- A \(A \cup B = \left\{ {3;6;9;12} \right\}\).
- B \(A \cup B = \left\{ {2;4;6;8;10;12} \right\}\).
- C \(A \cup B = \left\{ {6;12} \right\}\).
- D \(A \cup B = \left\{ {2;3;4;6;8;9;10;12} \right\}\).
Đáp án : D
Cho hai biến cố A và B. Khi đó, A, B là các tập con của không gian mẫu \(\Omega \). Đặt \(C = A \cup B\), ta có C là một biến cố và được gọi là biến cố hợp của hai biến cố A và B. Kí hiệu là \(A \cup B\).
Biến cố hợp của biến cố A và B là: “Chiếc thẻ rút ra là số chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 3”.
Do đó, \(A \cup B = \left\{ {2;3;4;6;8;9;10;12} \right\}\)
Đáp án D.
Cho hai biến cố độc lập A và B. Biết rằng \(P\left( A \right) = 0,4\) và \(P\left( B \right) = 0,6\). Xác suất của biến cố \(\overline A B\) là:
- A 0,36.
- B 0,24.
- C 0,6.
- D 0,4.
Đáp án : A
Nếu hai biến cố A và B độc lập thì \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).
Vì \(\overline A \) là biến cố đối của biến cố A nên \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0,4 = 0,6\).
Do \(\overline A \) và B là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố \(\overline A B\) là:
\(P\left( {\overline A B} \right) = P\left( {\overline A } \right).P\left( B \right) = 0,6.0,6 = 0,36\)
Đáp án A.
Bảng tần số ghép nhóm số liệu dưới đây thống kê cân nặng của 40 học sinh lớp 11A trong một trường trung học phổ thông (đơn vị: kilôgam). Cân nặng trung bình của 40 học sinh đó là:
- A 54kg.
- B 51kg.
- C 55kg.
- D 56kg.
Đáp án : D
Bảng tần số ghép nhóm cho ở bảng dưới:
+ Trung điểm \({x_i}\) của nửa khoảng (tính bằng trung bình cộng hai đầu mút) ứng với nhóm i là giá trị đại diện của nhóm đó.
+ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \(\overline x \), được tính theo công thức: \(\overline x = \frac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_m}{x_m}}}{n}\)
Ta có bảng:
Vậy cân nặng trung bình của 40 học sinh là:\(\overline x = \frac{{35.2 + 45.10 + 55.16 + 65.8 + 75.2 + 85.2}}{{40}} = 56\left( {kg} \right)\)
Đáp án D.
Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng:
- A 1800.
- B 1500.
- C 900.
- D Cả A, B, C đều sai.
Đáp án : C
Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.
Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.
Đáp án C.
Trong không gian, khẳng định nào sau đây là đúng?
- A Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
- B Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì song song với đường thẳng còn lại.
- C Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
- D Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Đáp án : A
Trong không gian, cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
Trong không gian, cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
Đáp án A.
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, \(SA = a\sqrt 3 \) và \(SA \bot BC\). Góc giữa SD và BC bằng:
- A \({45^0}\).
- B \({60^0}\).
- C \({30^0}\).
- D \({70^0}\).
Đáp án : B
+ Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu \(\left( {a,b} \right)\) hoặc \(\widehat {\left( {a;b} \right)}\).
+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại.
Vì ABCD là hình thoi nên BC//AD. Do đó, \(\left( {SD,BC} \right) = \left( {SD,AD} \right) = \widehat {SDA}\)
Vì BC//AD, \(SA \bot BC\) nên \(SA \bot AD\). Do đó, tam giác SAD vuông tại A, suy ra:
\(\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SDA} = {60^0}\)
Đáp án B.
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA và SC. Góc giữa IJ và BD bằng:
- A \({60^0}\).
- B \({90^0}\).
- C \({80^0}\).
- D \({70^0}\).
Đáp án : B
Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại.
Vì I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và SC nên IJ là đường trung bình của tam giác SAC, do đó, IJ//AC.
Vì ABCD là hình thoi nên \(AC \bot BD\)
Vì \(AC \bot BD\), IJ//AC nên \(BD \bot IJ \Rightarrow \left( {BD,IJ} \right) = {90^0}\).
Đáp án B.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- A Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong (P).
- B Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).
- C Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với mặt phẳng (P).
- D Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì nó vuông góc với bất kì đường thẳng nào trong mặt phẳng (P).
Đáp án : B
Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với mặt phẳng (P).
Câu sai vì d phải vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).
Các đáp án còn lại đều đúng.
Đáp án B.
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
- A Cho hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc nhau. Khi đó, có một và chỉ một mặt phẳng chứa hai đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
- B Qua một điểm O cho trước có duy nhất một đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước.
- C Qua một điểm O cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước.
- D Qua một điểm O cho trước có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Đáp án : B
Qua một điểm O cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước cho trước.
Qua một điểm O cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước cho trước nên đáp án B sai.
Hình minh họa:
Các đáp án còn lại đều đúng.
Đáp án B.
Chọn đáp án đúng.
Trong không gian, cho đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (P), đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d:
- A Vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng (P).
- B Vuông góc với đường thẳng a mà đường thẳng a song song mặt phẳng (P).
- C Vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).
- D Vuông góc với đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P).
Đáp án : C
Trong không gian, cho đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (P), đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).
Trong không gian, cho đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (P), đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).
Đáp án C.
Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và b là đường thẳng không nằm trong (P) và không vuông góc với (P). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (P). Khi đó, a vuông góc với b khi và chỉ khi…
Cụm từ thích hợp điền vào… để được đáp án đúng là:
- A a vuông góc với \(b'\).
- B a song song với \(b'\).
- C a cắt \(b'\).
- D a và \(b'\) chéo nhau.
Đáp án : A
Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và b là đường thẳng không nằm trong (P) và không vuông góc với (P). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (P). Khi đó, a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với \(b'\).
Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và b là đường thẳng không nằm trong (P) và không vuông góc với (P). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (P). Khi đó, a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với \(b'\).
Đáp án A.
Cho hình chóp S. ABC có ABC là tam giác cân tại C, SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Khẳng định nào dưới đây là sai?
- A \(CH \bot AK\).
- B \(CH \bot SB\).
- C \(CH \bot SA\).
- D \(SB \bot AK\).
Đáp án : D
+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).
+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
Vì H là trung điểm của AB, mà tam giác ABC cân tại C nên \(CH \bot AB\).
Ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right),CH \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot CH\)
Ta có: \(CH \bot AB\), \(SA \bot CH\), SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB) nên \(CH \bot \left( {SAB} \right)\). Mà \(AK,SB \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow AK \bot CH,SB \bot CH\)
Do đó, đáp án sai là D.
Đáp án D.
Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và tam giác ABC vuông tại B. Kẻ \(AH \bot SB\left( {H \in SB} \right)\). Khẳng định nào dưới đây là sai?
- A \(BC \bot SA\).
- B \(BC \bot AH\).
- C \(AH \bot AC\).
- D \(AH \bot SC\).
Đáp án : C
+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).
+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right),BC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\).
Tam giác ABC vuông tại B nên \(AB \bot BC\)
Ta có: \(SA \bot BC\), \(AB \bot BC\), SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\). Mà \(AH \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\)
Ta có: \(BC \bot AH,AH \bot SB\), SB và BC cắt nhau tại B và nằm trong mặt phẳng (SBC). Do đó, \(AH \bot \left( {SBC} \right)\), mà \(SC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow SC \bot AH\)
Nếu \(AH \bot AC\), mà \(SA \bot AC \Rightarrow AC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow AB \bot AC\) (vô lí)
Đáp án C.
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết rằng \(SA = SC,SB = SD\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A \(AB \bot \left( {SAC} \right)\).
- B \(CD \bot AC\).
- C \(CD \bot \left( {SBD} \right)\).
- D \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Đáp án : D
Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).
Vì \(SA = SC\) nên tam giác SAC cân tại S, mà SO là đường trung tuyến nên SO là đường cao của tam giác SAC. Do đó, \(SO \bot AC\) (1)
Vì \(SB = SD\) nên tam giác SBD cân tại S, mà SO là đường trung tuyến nên SO là đường cao của tam giác SBD. Do đó, \(SO \bot BD\) (2)
Lại có: BD và AC cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (ABCD) (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có: \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Đáp án D.
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Hình chiếu vuông góc của điểm D trên mặt phẳng (SAB) là điểm:
- A S.
- B A.
- C B.
- D E (với E là trung điểm của SB).
Đáp án : B
Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tùy ý trong không gian. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P). Gọi M’ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó, điểm M’ được gọi là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right),AD \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AD\)
Vì ABCD là hình chữ nhật nên \(AB \bot AD\).
Mà SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB). Do đó, \(AD \bot \left( {SAB} \right)\).
Do đó, A là hình chiếu vuông góc của điểm D trên mặt phẳng (SAB).
Đáp án B.
Cho hàm số: \(y = \ln \left[ {\left( {2 - m} \right){x^2} - 2x + 1} \right]\).
a) Với \(m = 1\), hãy tìm tập xác định của hàm số trên.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định với mọi giá trị thực của x.
Hàm số \(y = \ln u\left( x \right)\) xác định khi \(u\left( x \right) > 0\).
a) Với \(m = 1\) ta có: \(y = \ln \left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\).
Hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\) xác định khi \({x^2} - 2x + 1 > 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\).
Vậy với \(m = 1\) thì tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
b) Hàm số \(y = \ln \left[ {\left( {2 - m} \right){x^2} - 2x + 1} \right]\) xác định với mọi giá trị thực của x khi và chỉ khi \(f\left( x \right) = \left( {2 - m} \right){x^2} - 2x + 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Trường hợp 1: Với \(m = 2\) ta có: \(f\left( x \right) = - 2x + 1 > 0 \Leftrightarrow x < \frac{1}{2}\). Do đó, f(x) không xác định với mọi giá trị thực của x. Do đó, \(m = 2\) không thỏa mãn
Trường hợp 2: Với \(m \ne 2\). Hàm số \(f\left( x \right) = \left( {2 - m} \right){x^2} - 2x + 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - m > 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\{\left( { - 1} \right)^2} - \left( {2 - m} \right).1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\m > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m < 2\)
Vậy với \(1 < m < 2\) thì hàm số \(y = \ln \left[ {\left( {2 - m} \right){x^2} - 2x + 1} \right]\) có tập xác định với mọi giá trị thực của x.
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên CC’ vuông góc với đáy và \(CC' = a\). Gọi M, I lần lượt là trung điểm của BB’, BC.
a) Chứng minh rằng: \(AM \bot BC'\).
b) Gọi K là điểm trên đoạn A’B’ sao cho \(B'K = \frac{a}{4}\) và J là trung điểm của B’C’. Chứng minh rằng: \(AM \bot MK\) và \(AM \bot KJ\).
+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).
+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
a) Vì tam giác ABC là tam giác đều và I là trung điểm của BC nên \(AI \bot BC\).
Mặt khác, \(AI \bot CC'\left( {do\;CC' \bot \left( {ABC} \right)} \right)\) và BC và CC’ cắt nhau tại C và nằm trong mặt phẳng (BCC’B’) nên \(AI \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow AI \bot BC'\)
Dễ dàng chứng minh được tứ giác BCC’B’ là hình vuông nên \(BC' \bot B'C\).
Vì M, I lần lượt là trung điểm của BB’, BC nên MI là đường trung bình của tam giác BB’C. Do đó, MI//B’C. Mà \(BC' \bot B'C\) nên \(MI \bot BC'\).
Lại có: \(AI \bot BC'\) và MI và AI cắt nhau tại I và nằm trong mặt phẳng (AIM).
Do đó, \(BC' \bot \left( {AIM} \right) \Rightarrow BC' \bot AM\).
b) Tam giác KMB’ vuông tại B’ nên \(\tan \widehat {KMB'} = \frac{{KB'}}{{MB'}} = \frac{1}{2}\)
Tam giác AMB vuông tại B nên \(\tan \widehat {AMB} = \frac{{AB}}{{BM}} = 2\)
Do đó, \(\tan \widehat {KMB'} = \cot \widehat {AMB} \Rightarrow \widehat {KMB'} + \widehat {AMB} = {90^0}\)
Suy ra, \(\widehat {AMK} = {90^0} \Rightarrow AM \bot MK\)
Mặt khác: \(AM \bot BC'\left( {cmt} \right),MJ//BC'\) (do MJ là đường trung bình của tam giác B’C’B)\( \Rightarrow AM \bot MJ\)
Mà \(AM \bot MK\). Do đó, \(AM \bot \left( {MKJ} \right) \Rightarrow AM \bot KJ\).
Cho \(a{x^3} = b{y^3} = c{z^3}\) và \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1\) (với x, y, z khác 0). Chứng minh rằng:
\(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c} = \sqrt[3]{{a{x^2} + b{y^2} + c{z^2}}}\).
\(\sqrt[n]{{{a^n}}} = a\) nếu n là số lẻ.
Đặt \(A = \sqrt[3]{{a{x^2} + b{y^2} + c{z^2}}}\).
Ta có: \(A = \sqrt[3]{{a{x^2} + b{y^2} + c{z^2}}} = \sqrt[3]{{\frac{{a{x^3}}}{x} + \frac{{b{y^3}}}{y} + \frac{{c{z^3}}}{z}}} = \sqrt[3]{{\frac{{a{x^3}}}{x} + \frac{{a{x^3}}}{y} + \frac{{a{x^3}}}{z}}} = \sqrt[3]{{a{x^3}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)}}\)
\( = \sqrt[3]{{a{x^3}}} = x\sqrt[3]{a}\)\( \Rightarrow \sqrt[3]{a} = \frac{A}{x}\) (1)
Chứng minh tương tự ta có: \(\sqrt[3]{b} = \frac{A}{y}\left( 2 \right);\sqrt[3]{c} = \frac{A}{z}\left( 3 \right)\)
Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta có:
\(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c} = \frac{A}{x} + \frac{A}{y} + \frac{A}{z} = A\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = A = \sqrt[3]{{a{x^2} + b{y^2} + c{z^2}}}\)
Vậy \(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c} = \sqrt[3]{{a{x^2} + b{y^2} + c{z^2}}}\)
English
French
Spanish
Russian