Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A \({4^{ - 6}} = {6^{ - 4}}\).
- B \({4^{ - 6}} = \frac{1}{{{4^6}}}\).
- C \({4^{ - 6}} = \frac{1}{{{6^4}}}\).
- D \({4^{ - 6}} = {\left( { - 4} \right)^6}\).
Đáp án : B
Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý khác 0, ta có \({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\).
\({4^{ - 6}} = \frac{1}{{{4^6}}}\)
Đáp án B.
Chọn đáp án đúng.
Cho số thực a và số nguyên dương n \(\left( {n \ge 2} \right)\). Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu:
- A \({a^n} = b\).
- B \({b^n} = a\).
- C \(a.n = b\).
- D \(a.b = n\).
Đáp án : B
Cho số thực a và số nguyên dương n \(\left( {n \ge 2} \right)\). Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu \({b^n} = a\).
Cho số thực a và số nguyên dương n \(\left( {n \ge 2} \right)\). Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu \({b^n} = a\).
Đáp án B.
Chọn đáp án đúng:
- A \(\sqrt[3]{{{{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^3}}} = 1 - \sqrt 5 \).
- B \(\sqrt[3]{{{{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^3}}} = - 1 - \sqrt 5 \).
- C \(\sqrt[3]{{{{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^3}}} = - 1 + \sqrt 5 \).
- D \(\sqrt[3]{{{{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^3}}} = 1 + \sqrt 5 \).
Đáp án : A
\(\sqrt[n]{{{a^n}}} = a\) khi n lẻ (với các biểu thức đều có nghĩa).
\(\sqrt[3]{{{{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^3}}} = 1 - \sqrt 5 \).
Đáp án A.
Rút gọn biểu thức \(\left( {{9^{3 + \sqrt 3 }} - {9^{\sqrt 3 - 1}}} \right){.3^{ - 2\sqrt 3 }}\) được kết quả là:
- A \(\frac{{6560}}{9}\).
- B \(\frac{{6562}}{9}\).
- C \(\frac{{6560}}{3}\).
- D \(\frac{{6562}}{3}\).
Đáp án : A
Với a là số thực dương, \(\alpha ,\beta \) là những số thực bất kì thì: \({\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha \beta }},{a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }}\).
Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý khác 0, ta có \({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\).
\(\left( {{9^{3 + \sqrt 3 }} - {9^{\sqrt 3 - 1}}} \right){.3^{ - 2\sqrt 3 }} = \left( {{3^{2\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}} - {3^{2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}} \right){.3^{ - 2\sqrt 3 }} = {3^{6 + 2\sqrt 3 - 2\sqrt 3 }} - {3^{2\sqrt 3 - 2 - 2\sqrt 3 }} = {3^6} - {3^{ - 2}} = {3^6} - \frac{1}{{{3^2}}} = \frac{{6560}}{9}\)
Đáp án A.
Cho a, b là các số thực dương. Rút gọn biểu thức \(\frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}}} \right)}^8}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^6}} }}}}\)
- A \({a^2}{b^2}\).
- B \(ab\).
- C \({a^3}{b^4}\).
- D \({a^4}{b^3}\).
Đáp án : D
\(\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left| a \right|\) nếu n là số chẵn.
\(\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}\) (các biểu thức đều có nghĩa)
\(\frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}}} \right)}^8}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^6}} }}}} = \frac{{{{\left( {{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}}} \right)}^4}} \right)}^2}}}{{\sqrt[6]{{{{\left( {{a^2}b} \right)}^6}}}}} = \frac{{{{\left( {{a^3}{b^2}} \right)}^2}}}{{{a^2}b}} = \frac{{{a^6}{b^4}}}{{{a^2}b}} = {a^4}{b^3}\)
Đáp án D.
Chọn đáp án đúng.
- A \(\ln {e^2} = 2\).
- B \(\ln {e^2} = {e^2}\).
- C \(\ln {e^2} = e\).
- D \(\ln {e^2} = \frac{1}{{{e^2}}}\).
Đáp án : A
Với số thực dương a, b và \(a \ne 1\) thì:
+ \({\log _a}{a^b} = b\)
+ \({\log _e}b\) được viết là ln b
\(\ln {e^2} = 2\)
Đáp án A.
Chọn đáp án đúng.
Cho a, b là các số thực dương. Giá trị của \(\ln \frac{a}{b} + \ln \frac{b}{a}\) bằng:
- A \(\ln \left( {ab} \right)\).
- B \(\ln \left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right)\).
- C 1.
- D 0.
Đáp án : D
Với số thực dương a, b, c và \(a \ne 1\) thì:
+ \({\log _e}b\) được viết là ln b.
+ \({\log _a}1 = 0\), \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\).
\(\ln \frac{a}{b} + \ln \frac{b}{a} = \ln \left( {\frac{a}{b}.\frac{b}{a}} \right) = \ln 1 = 0\)
Đáp án D.
Chọn đáp án đúng.
Cho \(a > 0,a \ne 1,b > 0\). Với mọi số nguyên dương \(n \ge 2\) ta có:
- A \({\log _a}\sqrt[n]{b} = n{\log _a}b\).
- B \({\log _a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}{\log _a}b\).
- C \({\log _a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}{\log _b}a\).
- D \({\log _a}\sqrt[n]{b} = n{\log _b}a\).
Đáp án : B
Cho \(a > 0,a \ne 1,b > 0\). Với mọi số nguyên dương \(n \ge 2\) ta có \({\log _a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}{\log _a}b\).
Cho \(a > 0,a \ne 1,b > 0\). Với mọi số nguyên dương \(n \ge 2\) ta có \({\log _a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}{\log _a}b\).
Đáp án B.
Cho \({\log _a}b = 4\). Giá trị của \({\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right)\) bằng:
- A 12.
- B 13.
- C 14.
- D 11.
Đáp án : D
+ Với a, b là số thực dương và \(a \ne 1\) thì \(\log {\,_a}{a^\alpha } = \alpha ,\log {\,_a}{b^\alpha } = \alpha \log {\,_a}b\)
+ Với \(0 < a \ne 1,b,c > 0\) thì \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\).
\({\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = {\log _a}{a^3} + {\log _a}{b^2} = 3 + 2{\log _a}b = 3 + 2.4 = 11\)
Đáp án D.
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn \({a^3}{b^2} = 1000\). Giá trị của biểu thức \(P = 3\log a + 2\log b\) là:
- A 1.
- B 2.
- C 3.
- D 4.
Đáp án : C
+ Với a, b là số thực dương và \(a \ne 1\) thì \(\log {\,_a}{a^\alpha } = \alpha ,\log {\,_a}{b^\alpha } = \alpha \log {\,_a}b\).
+ Với \(0 < a \ne 1,b,c > 0\) thì \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\).
\(P = 3\log a + 2\log b = \log {a^3} + \log {b^2} = \log \left( {{a^3}{b^2}} \right) = \log 1000 = \log {10^3} = 3\)
Đáp án C.
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)?
- A \(y = \ln 2x\).
- B \(y = {\log _{\frac{1}{\pi }}}x\).
- C \(y = {\log _{1 + \sqrt 3 }}x\).
- D \(y = \log x\).
Đáp án : B
Với \(0 < a < 1\) thì hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Vì \(0 < \frac{1}{\pi } < 1\) nên hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{\pi }}}x\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Đáp án B.
Hàm số nào dưới đây là hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
- A \(y = {3^x}\).
- B \(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\).
- C Cả A và B đều đúng.
- D Cả A và b đều sai.
Đáp án : A
Với \(a > 1\) thì hàm số \(y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Vì \(3 > 1\) nên hàm số \(y = {3^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Đáp án A.
Đồ thị hàm số \(y = {6^{2x}}\) luôn đi qua điểm nào dưới đây?
- A (0; 1).
- B (0; -1).
- C (0; 6).
- D \(\left( {0;\frac{1}{6}} \right)\).
Đáp án : A
Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) luôn đi qua điểm (0; 1).
Đồ thị hàm số \(y = {6^{2x}}\) luôn đi qua điểm (0; 1).
Đáp án A.
Chọn đáp án đúng.
Hàm số \(y = \log x\) có cơ số là:
- A 1.
- B 10.
- C e.
- D Cả A, B, C đều sai.
Đáp án : B
Hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.
Hàm số \(y = \log x\) có cơ số là 10.
Đáp án B.
Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số \(y = {\log _a}x,y = {\log _b}x,y = {\log _c}x\) thể hiện ở hình vẽ dưới đây.
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
- A \(b < c < a\).
- B \(b < a < c\).
- C \(a < b < c\).
- D \(a < c < b\).
Đáp án : A
Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Nếu \(a > 1\) thì hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Ta thấy hàm số \(y = {\log _b}x\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên \(b < 1\).
Hàm số \(y = {\log _a}x,y = {\log _c}x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên \(a > 1,c > 1\).
Xét tại một điểm \(x > 1\) thì: \({\log _c}x > {\log _a}x \Rightarrow {\log _c}x > \frac{1}{{{{\log }_x}a}} \Rightarrow {\log _c}x.{\log _x}a > 1 \Rightarrow a > c\)
Do đó, \(b < c < a\).
Đáp án A.
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {3 - x} }} + \ln \left( {x - 1} \right)\) là:
- A \(D = \left[ {1;3} \right]\).
- B \(D = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).
- C \(D = \left( {1;3} \right)\).
- D \(D = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\).
Đáp án : C
Hàm số \(y = \ln u\left( x \right)\) xác định khi \(u\left( x \right) > 0\).
Hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {u\left( x \right)} }}\) xác định khi \(u\left( x \right) > 0\).
Hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {3 - x} }} + \ln \left( {x - 1} \right)\) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}3 - x > 0\\x - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 3\\x > 1\end{array} \right.\)
Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left( {1;3} \right)\).
Đáp án C.
Thống kê chiều cao của 40 học sinh lớp 11A (đơn vị: cm), ta có bảng số liệu sau:
Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {160;165} \right)\) là:
- A \(160cm\).
- B \(162,5cm\).
- C \(165cm\).
- D 16.
Đáp án : B
Mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định có dạng \(\left[ {a;b} \right)\). Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {a;b} \right)\) là \({x_i} = \frac{{a + b}}{2}\).
Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {160;165} \right)\) là: \(\frac{{160 + 165}}{2} = 162,5\left( {cm} \right)\)
Đáp án B.
Nếu hai biến cố A và B độc lập và \(P\left( A \right) = 0,7,P\left( {AB} \right) = 0,28\) thì:
- A \(P\left( B \right) = 0,42\).
- B \(P\left( B \right) = 0,4\).
- C \(P\left( B \right) = 0,98\).
- D \(P\left( B \right) = 0,196\).
Đáp án : B
Nếu hai biến cố A và B độc lập thì \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).
Vì hai biến cố A và B độc lập nên \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,28}}{{0,7}} = 0,4\)
Đáp án B.
Bảng tần số ghép nhóm cho ở bảng dưới:
Giá trị trung bình \(\overline x \) của nhóm mẫu số liệu là:
- A \(\overline x = \frac{{2\left( {{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_m}{x_m}} \right)}}{n}\).
- B \(\overline x = \frac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_m}{x_m}}}{{2n}}\).
- C \(\overline x = \frac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_m}{x_m}}}{{n + 1}}\).
- D \(\overline x = \frac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_m}{x_m}}}{n}\).
Đáp án : D
Bảng tần số ghép nhóm cho ở bảng dưới:
+ Trung điểm \({x_i}\) của nửa khoảng (tính bằng trung bình cộng hai đầu mút) ứng với nhóm i là giá trị đại diện của nhóm đó.
+ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \(\overline x \), được tính theo công thức: \(\overline x = \frac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_m}{x_m}}}{n}\)
Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \(\overline x \), được tính theo công thức: \(\overline x = \frac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_m}{x_m}}}{n}\)
Đáp án D.
Chọn đáp án đúng.
Trong hộp kín có 6 quả bóng màu xanh và 8 quả bóng màu đỏ, các quả bóng có kích thước và khối lượng giống nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 quả bóng. Xét các biến cố:
A: “Hai quả bóng lấy ra có màu xanh”;
B: “Hai quả bóng lấy ra có màu đỏ”.
Biến cố hợp của hai biến cố A và B là:
- A Hai quả bóng lấy ra cùng có màu đỏ hoặc màu xanh.
- B Hai quả bóng lấy ra có màu khác nhau.
- C Hai quả bóng lấy ra không có quả nào màu đỏ.
- D Hai quả bóng lấy ra không có quả nào màu xanh.
Đáp án : A
Biến cố \(A \cup B\) có thể phát biểu dưới đạng mệnh đề nêu sự kiện là: “A xảy ra hoặc B xảy ra” hay “Có ít nhất một trong các biến cố A, B xảy ra”.
Biến cố hợp của hai biến cố A và B là: Hai quả bóng lấy ra cùng có màu đỏ hoặc màu xanh
Đáp án A.
Một đội văn nghệ có 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Giao viên phụ trách muốn chọn ra một đội tốp ca gồm 3 học sinh sao cho có cả nam và nữ cùng tham gia. Giáo viên có bao nhiêu cách chọn đội tốp ca như vậy?
- A 70 cách.
- B 40 cách.
- C 30 cách.
- D 50 cách.
Đáp án : A
+ Cho hai biến cố A và B. Khi đó A, B là các tập con của không gian mẫu \(\Omega \). Đặt \(C = A \cup B\), ta có C là một biến cố và được gọi là biến cố hợp của hai biến cố A và B, kí hiệu là \(A \cup B\).
+ Cho hai biến cố A và B. Khi đó A, B là các tập con của không gian mẫu \(\Omega \). Đặt \(C = A \cap B\), ta có C là một biến cố và được gọi là biến cố giao của hai biến cố A và B, kí hiệu là \(C = A \cap B\) hay AB.
Xét các biến cố:
H: “Trong 3 học sinh chọn ra có cả nam và nữ”.
A: “Trong 3 học sinh chọn ra có 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ”.
B: “Trong 3 học sinh chọn ra có 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ”.
Khi đó, \(H = A \cup B\) và \(A \cap B = \emptyset \)
Do A và B là hai biến cố xung khắc nên \(n\left( H \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right)\).
Số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: \(n\left( A \right) = C_4^2.C_5^1 = \frac{{4!}}{{2!.2!}}.\frac{{5!}}{{1!.4!}} = 6.5 = 30\)
Số các kết quả thuận lợi cho biến cố B là: \(n\left( B \right) = C_4^1.C_5^2 = \frac{{4!}}{{1!.3!}}.\frac{{5!}}{{2!.3!}} = 4.10 = 40\)
Số các kết quả thuận lợi cho biến cố H là: \(n\left( H \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) = 30 + 40 = 70\)
Vậy có 70 cách chọn một đội tốp ca gồm 3 học sinh sao cho có cả nam và nữ cùng tham gia.
Đáp án A.
Cho A và B là hai biến cố độc lập với nhau. Biết rằng \(P\left( A \right) = 0,8\) và \(P\left( {AB} \right) = 0,4\). Xác suất của biến cố \(\overline A \overline B \) là:
- A 0,5.
- B 0,2.
- C 0,1.
- D 0,3.
Đáp án : C
Nếu hai biến cố A và B độc lập thì \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).
Do A và B là hai biến cố độc lập \(P\left( B \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,4}}{{0,8}} = 0,5\)
Vì \(\overline A \) là biến cố đối của biến cố A nên \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0,8 = 0,2\).
Vì \(\overline B \) là biến cố đối của biến cố B nên \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,5 = 0,5\).
Xác suất của biến cố \(\overline A \overline B \) là: \(P\left( {\overline A \overline B } \right) = P\left( {\overline A } \right)P\left( {\overline B } \right) = 0,2.0,5 = 0,1\)
Đáp án C.
Bảng tần số ghép nhóm số liệu dưới đây thống kê kết quả kiểm môn toán của lớp 11E như sau:
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là (làm tròn kết quả đến hàng phần mười):
- A 7,2.
- B 7,5.
- C 6,2.
- D 6,5.
Đáp án : C
Bảng tần số ghép nhóm cho ở bảng dưới:
Giả sử nhóm i là nhóm có tần số lớn nhất. Ta gọi u, g, \({n_i}\) lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm i; \({n_{i - 1}},{n_{i + 1}}\) lần lượt là tần số của nhóm \(i - 1;i + 1\). Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({M_o}\) được tính theo công thức sau: \({M_o} = u + \left( {\frac{{{n_i} - {n_{i - 1}}}}{{2{n_i} - {n_{i - 1}} - {n_{i + 1}}}}} \right).g\).
Ta thấy: Nhóm 2 ứng với nửa khoảng \(\left[ {5;7} \right)\) là nhóm có tần số lớn nhất với \(u = 5;g = 2,{n_2} = 18\). Nhóm 1 có tần số \({n_1} = 5\) và nhóm 3 có tần số \({n_3} = 10\).
Mốt của mẫu số liệu là: \({M_o} = 5 + \frac{{18 - 5}}{{2.18 - 5 - 10}}.2 \approx 6,2\)
Đáp án C.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các mặt là các hình vuông. Góc giữa hai đường thẳng AA’ và CD bằng:
- A \({90^0}\).
- B \({60^0}\).
- C \({30^0}\).
- D \({70^0}\).
Đáp án : A
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu \(\left( {a,b} \right)\) hoặc \(\widehat {\left( {a;b} \right)}\).
Vì AB//CD nên \(\left( {AA',CD} \right) = \left( {AA',AB} \right) = {90^0}\)
Đáp án A.
Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm I bất kì thuộc cạnh AC. Qua I kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại M. Qua I kẻ đường thẳng song song với CD cắt AD tại N. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng AB và CD là:
- A \(\left( {IM,MN} \right)\).
- B \(\left( {IN,NM} \right)\).
- C \(\left( {IM,IN} \right)\).
- D \(\left( {IM,IC} \right)\).
Đáp án : C
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu \(\left( {a,b} \right)\) hoặc \(\widehat {\left( {a;b} \right)}\).
Vì MI//AB, IN//CD nên \(\left( {AB,CD} \right) = \left( {IM,IN} \right)\).
Đáp án C.
Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SD. Góc giữa hai đường thẳng MN và SC bằng:
- A \({90^0}\).
- B \({60^0}\).
- C \({30^0}\).
- D \({70^0}\).
Đáp án : A
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu \(\left( {a,b} \right)\) hoặc \(\widehat {\left( {a;b} \right)}\).
Vì M, N lần lượt là trung điểm của AD, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SAD. Do đó, MN//AS. Suy ra, \(\left( {MN,SC} \right) = \left( {SA,SC} \right) = \widehat {SAC}\).
Vì tam giác ABC vuông tại B nên \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 2{a^2}\)
Vì \(A{C^2} = S{A^2} + A{C^2}\) nên tam giác SAC vuông tại S (định lí Pythagore đảo)
Do đó, \(\widehat {ASC} = {90^0}\). Vậy \(\left( {MN,SC} \right) = {90^0}\).
Đáp án A.
Cho hình chóp S. ABCD với đáy ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi I, J lần lượt thuộc các cạnh SC, BC sao cho tam giác IJC là tam giác đều. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng IJ và AD bằng:
- A \({60^0}\).
- B \({90^0}\).
- C \({120^0}\).
- D \({70^0}\).
Đáp án : A
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu \(\left( {a,b} \right)\) hoặc \(\widehat {\left( {a;b} \right)}\).
Tứ giác ABCD có: \(AB = BC = CD = DA\) nên tứ giác ABCD là hình thoi. Do đó, AD//BC.
Suy ra: \(\left( {IJ,AD} \right) = \left( {IJ,BC} \right) = \widehat {CJI}\)
Tam giác IJC là tam giác đều nên \(\widehat {IJC} = {60^0}\). Do đó, góc giữa hai đường thẳng IJ và AD bằng \({60^0}\).
Đáp án A.
Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A \(SA \bot BC\).
- B \(SA \bot AC\).
- C \(SA \bot AB\).
- D Cả A, B, C đều đúng.
Đáp án : A
Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(AB,BC,CA \subset \left( {ABC} \right)\) nên \(SA \bot BC\), \(SA \bot AC\), \(SA \bot AB\).
Đáp án D.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A (ABCD)\( \bot \) (A’B’C’D).
- B \(BB' \bot \left( {ABCD} \right)\).
- C Cả A và B đều đúng.
- D Cả A và B đều sai.
Đáp án : B
Cho hai đường thẳng song song, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
Vì \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\) và AA’//BB’ nên \(BB' \bot \left( {ABCD} \right)\)
Đáp án B.
Trong không gian, cho điểm A và mặt phẳng (P). Mệnh nào dưới đây đúng?
- A Có đúng hai đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).
- B Có đúng một đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).
- C Không tồn tại đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).
- D Có vô số đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).
Đáp án : B
Có đúng một đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).
Có đúng một đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).
Đáp án B.
Phát biểu nào sau đây là đúng?
- A Nếu đường thẳng d vuông góc hai đường thẳng trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với tất cả các đường thẳng thuộc mặt phẳng (P).
- B Nếu đường thẳng d vuông góc với một đường thẳng trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).
- C Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng bất kì trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).
- D Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).
Đáp án : D
Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).
Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).
Đáp án D.
Cho tứ diện ABCD có ABC và BCD là các tam giác cân tại A và D. Gọi I là trung điểm của BC. Kẻ \(AH \bot DI\left( {H \in DI} \right)\). Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (BCD) là:
- A I.
- B H.
- C D.
- D C.
Đáp án : B
+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).
+ Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tùy ý trong không gian. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P). Gọi M’ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó, điểm M’ được gọi là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).
Vì tam giác ABC cân tại A nên AI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, \(AI \bot BC\).
Vì tam giác DBC cân tại D nên DI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, \(DI \bot BC\).
Ta có: \(AI \bot BC\), \(DI \bot BC\), DI và AI cắt nhau tại I và nằm trong mặt phẳng (AID) nên \(BC \bot \left( {AID} \right)\). Mà \(AH \subset \left( {ADI} \right) \Rightarrow AH \bot CB\)
Lại có: \(AH \bot DI\), DI và BC cắt nhau tại I và nằm trong mặt phẳng (BCD). Do đó, \(AH \bot \left( {BCD} \right)\). Do đó, hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (BCD) là điểm H.
Đáp án B.
Cho hình chóp S. ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), M là trung điểm của BC. Tam giác ABC cân tại A. Mệnh đề nào sau đây sai?
- A \(BC \bot SB\).
- B \(BC \bot SM\).
- C \(SA \bot BC\).
- D \(BC \bot AM\).
Đáp án : A
Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right),BC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\)
Tam giác ABC cân tại A nên AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.
Do đó, \(BC \bot AM\)
Vì \(SA \bot BC\), \(BC \bot AM\), SA và AM cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAM) nên \(BC \bot \left( {SAM} \right)\), mà \(SM \subset \left( {SAM} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot SM\)
Tam giác SBC có \(BC \bot SM\) nên BC không thể vuông góc với SB. Do đó, câu A sai.
Đáp án A.
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi và \(SA = SC,{\rm{ }}SB = SD\). Gọi O là giao điểm của AC và BD. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là:
- A A.
- B C.
- C O.
- D D.
Đáp án : C
+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).
+ Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tùy ý trong không gian. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P). Gọi M’ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó, điểm M’ được gọi là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).
Vì ABCD là hình thoi, O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC, O là trung điểm của BD.
Vì \(SA = SC\) nên tam giác SAC cân tại S. Do đó, SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác. Suy ra, \(SO \bot AC\).
Vì \(SB = SD\) nên tam giác SBD cân tại S. Do đó, SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác. Suy ra, \(SO \bot BD\).
Vì \(SO \bot AC\), \(SO \bot BD\) và BD và AC cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\). Do đó, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm O.
Đáp án C.
Cho tứ diện ABCD có \(DA \bot \left( {ABC} \right)\), ABC là tam giác cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và DBC. Góc giữa hai đường thẳng GK và AB bằng:
- A \({45^0}\).
- B \({60^0}\).
- C \({90^0}\).
- D \({70^0}\).
Đáp án : C
Cho hai đường thẳng song song, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
Vì K là trọng tâm của tam giác DBC, DM là đường trung tuyến của tam giác DBC nên \(\frac{{MK}}{{MD}} = \frac{1}{3}\)
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên \(\frac{{MG}}{{MA}} = \frac{1}{3}\)
Tam giác DMA có: \(\frac{{MK}}{{MD}} = \frac{{MG}}{{MA}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\) nên GK//AD
Mà \(AD \bot \left( {ABC} \right)\) suy ra \(GK \bot \left( {ABC} \right)\). Mà \(AB \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow GK \bot AB\)
Do đó, góc giữa hai đường thẳng GK và AB bằng \({90^0}\).
Đáp án C.
Cho hàm số: \(y = \log \left[ {\left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 2m} \right]\).
a) Với \(m = 3\), hãy tìm tập xác định của hàm số trên.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định với mọi giá trị thực của x.
Hàm số \(y = \log u\left( x \right)\) xác định khi \(u\left( x \right) > 0\).
a) Với \(m = 3\) ta có: \(y = \log \left( {{x^2} + 8x + 6} \right)\).
Hàm số \(y = \log \left( {{x^2} + 8x + 6} \right)\) xác định khi \({x^2} + 8x + 6 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > - 4 + \sqrt {10} \\x < - 4 - \sqrt {10} \end{array} \right.\)
Vậy với \(m = 3\) thì tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { - \infty ; - 4 - \sqrt {10} } \right) \cup \left( { - 4 + \sqrt {10} ; + \infty } \right)\).
b) Hàm số \(y = \log \left[ {\left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 2m} \right]\) xác định với mọi giá trị thực của x khi và chỉ khi \(f\left( x \right) = \left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 2m > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Trường hợp 1: Với \(m = 2\) ta có: \(f\left( x \right) = 6x + 4 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{{ - 2}}{3}\).
Do đó, f(x) không xác định với mọi giá trị thực của x. Do đó, \(m = 2\) không thỏa mãn.
Trường hợp 2: Với \(m \ne 2\).
Hàm số \(f\left( x \right) = \left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 2m > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 > 0\\\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {m - 2} \right)2m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\\ - {m^2} + 6m + 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\\\left[ \begin{array}{l}m < 3 - \sqrt {10} \\m > 3 + \sqrt {10} \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 3 + \sqrt {10} \)
Vậy với \(m \in \left( {3 + \sqrt {10} ; + \infty } \right)\) thì hàm số \(y = \log \left[ {\left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 2m} \right]\) có tập xác định với mọi giá trị thực của x.
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(AD = 2a,AB = BC = a\). Chứng minh rằng:
a) Tam giác SBC là tam giác vuông.
b) \(CD \bot SC\).
+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).
+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
a) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right),BC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\).
Vì ABCD là hình thang vuông tại A và B nên \(AB \bot BC\).
Ta có: \(SA \bot BC\), \(AB \bot BC\), SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\). Lại có, \(SB \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow BC \bot SB\). Suy ra, tam giác SBC vuông tại B.
b) Gọi I là trung điểm của AD. Do đó, \(AI = ID = \frac{1}{2}AD = a\)
Tứ giác ABCI có: AI//BC (do tứ giác ABCD là hình thang vuông tại A, B), \(AI = BC\left( { = a} \right)\) nên tứ giác ABCI là hình bình hành. Lại có: \(BC = AB\) nên tứ giác ABCI là hình thoi. Mà \(\widehat {BAI} = {90^0}\) nên ABCI là hình vuông. Do đó, \(\widehat {AIC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {CID} = {90^0}\)
Tam giác CID có: \(\widehat {CID} = {90^0},CI = ID\left( { = a} \right)\) nên tam giác CID vuông cân tại I.
Suy ra: \(\widehat {DCI} = {45^0}\).
Lại có: CA là phân giác góc ICB (do ABCI là hình vuông) nên \(\widehat {ACI} = \frac{1}{2}\widehat {ICB} = \frac{1}{2}{.90^0} = {45^0}\)
Suy ra: \(\widehat {ACD} = \widehat {ACI} + \widehat {ICD} = {90^0}\) hay \(AC \bot CD\)
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right),DC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot DC\)
Ta có: \(AC \bot CD\), \(SA \bot DC\), SA và AC cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAC) nên \(DC \bot \left( {SAC} \right)\). Mà \(SC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow CD \bot SC\)
Ông A gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng với hình thức cứ mỗi đầu tháng đóng 5 triệu đồng với lãi suất 0,3%/tháng. Tính số tiền mà ông A thu được từ ngân hàng sau 5 năm.
\({a^n} = a.a...a\left( {a \in \mathbb{R},n \in \mathbb{N}*} \right)\) (có n thừa số a)
Đặt \(a = 5\) triệu đồng, \(r = 0,33\% \).
Gọi \({P_n}\) là số tiền ông A thu được sau n tháng \(\left( {n \ge 1} \right)\)
Sau tháng thứ nhất, ông A tiết kiệm được: \({P_1} = a\left( {1 + r} \right)\) (triệu đồng)
Sau tháng thứ hai, ông A tiết kiệm được:
\({P_2} = \left( {{P_1} + a} \right)\left( {1 + r} \right) = \left[ {a\left( {1 + r} \right) + a} \right]\left( {1 + r} \right) = a{\left( {1 + r} \right)^2} + a\left( {1 + r} \right)\) (triệu đồng)
Sau tháng thứ ba, ông A tiết kiệm được: \({P_3} = \left( {{P_2} + a} \right)\left( {1 + r} \right) = a{\left( {1 + r} \right)^3} + a{\left( {1 + r} \right)^2} + a\left( {1 + r} \right)\) (triệu đồng)
…
Sau tháng thứ n, ông A tiết kiệm được: \({P_n} = \left( {{P_{n - 1}} + a} \right)\left( {1 + r} \right) = a{\left( {1 + r} \right)^n} + a{\left( {1 + r} \right)^{n - 1}} + ... + a\left( {1 + r} \right)\) (triệu đồng)
Xét cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = a\left( {1 + r} \right)\) và công bội \(q = 1 + r\) thì \({P_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)
Vậy số tiền ông A nhận được từ ngân hàng sau 5 năm là:
\({P_{60}} = {u_1}.\frac{{1 - {q^{60}}}}{{1 - q}} = 5.1,003.\frac{{1 - 1,{{003}^{60}}}}{{ - 0,003}} \approx 329\) (triệu đồng)
Vậy sau 5 năm ông A thu được từ ngân hàng khoảng 329 triệu đồng.
English
French
Spanish
Russian