Đề thi học kì 2 Toán 11 Cánh diều - Đề số 5

\({\left( {ab} \right)^\alpha } = {a^\alpha }.{b^\alpha }\)

\({\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}\)

Đáp án A.

\[P = {\log _a}\left( {b{c^2}} \right) = {\log _a}b + {\log _a}{c^2} = {\log _a}b + 2{\log _a}c = 3 + 2.2 = 7\]

Đáp án A.

\[\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \left[ {\ln \left( {{x^2} - 2x + 4} \right)} \right]' = \frac{{\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)'}}{{{x^2} - 2x + 4}} = \frac{{2x - 2}}{{{x^2} - 2x + 4}}\\f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \frac{{2x - 2}}{{{x^2} - 2x + 4}} > 0 \Leftrightarrow 2x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 1\end{array}\]

Đáp án C.

\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\)

Đáp án A.

Biến cố \(A \cap B\)là :”Gieo được mặt xuất hiện số lẻ và sơn đỏ” \( \Rightarrow n\left( {A \cap B} \right) = 2\)

Vậy xác suất cần tính là \(P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

Đáp án B.

Hệ số góc của tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M\left( {2;f\left( 2 \right)} \right)\)là \(f'(2) = 6.\)

Đáp án C.

\[\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^3}} \right]' = 3(x + 1)'{\left( {x + 1} \right)^2} = 3{\left( {x + 1} \right)^2}\\f''\left( x \right) = \left[ {3{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right]' = 6(x + 1)'\left( {x + 1} \right) = 6\left( {x + 1} \right)\\f''(1) = 12\end{array}\]

Đáp án A.

a) \(\left\{ \begin{array}{l}BC//AD\\BC \not\subset (SAD),AD \subset (SAD)\end{array} \right. \Rightarrow BC//(SAD)\)

b) \[\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AD\\AB \bot SA\\AD,SA \subset (SAD)\\AD \cap SA\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot (SAD)\]

Đáp án B.

Do \(SA \bot (ABCD)\)

Nên AB là hình chiếu của SA lên mp(ABCD)

Ta có: \(\left( {SB,(ABCD)} \right) = \left( {SB,AB} \right)\)

Xét tam giác SAB vuông tại A ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {SB,AB} \right) = \widehat {SBA}\\\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \widehat {SBA} = {45^0}\end{array}\)

Đáp án A.

\(Do\,\,SA \bot (ABCD) \Rightarrow d(S,(ABCD)) = SA\)

Tam giác SAB vuông tại A nên \(SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}}  = a\)

Đáp án A.

Ta có:

\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}DC \bot AD\\DC \bot SA\\AD,SA \subset (SAD)\\AD \cap SA\end{array} \right. \Rightarrow DC \bot (SAD) \Rightarrow DC \bot AK\\\left\{ \begin{array}{l}AK \bot SD\\AK \bot DC\\SD,DC \subset (SDC)\\SD \cap DC\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot (SDC) \Rightarrow d(A,(SCD)) = AK\end{array}\]

Đáp án A.

\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}DC \bot AD\\DC \bot SA\\AD,SA \subset (SAD)\\AD \cap SA\end{array} \right. \Rightarrow DC \bot (SAD) \Rightarrow DC \bot AK\\\left\{ \begin{array}{l}AK \bot SD\\AK \bot DC\\SD,DC \subset (SDC)\\SD \cap DC\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot (SDC)\end{array}\]

Đáp án B.

a) Đạo hàm của hàm số \(s(t)\)tại thời điểm \({t_0}\)

Ta có:

 \(\begin{array}{l}f'({t_0}) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{f(t) - f({t_0})}}{{t - {t_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \left( {\frac{{{t^2} - 2t - ({t_0}^2 - 2{t_0})}}{{t - {t_0}}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \left( {\frac{{(t - {t_0})(t + {t_0} - 2)}}{{t - {t_0}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \left( {t + {t_0} - 2} \right) = 2{t_0} - 2\end{array}\)

b) Phương trình vận tốc của chất điểm là: \(v(t) = s' = s'(t) = 2t - 2\)

Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5 (s) là: \(v(5) = 2.5 - 2 = 8(m.s)\)

c) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t = 10\)là \(v(10) = 2.10 - 2 = 18\,(m/s)\)

d) Trong khoảng thời gian từ \(t = 0\) tới \(t = 3s\)thì chất điểm di chuyển được quãng đường: \({3^2} - 2.3 = 3(m)\)

Suy ra vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian 3s kể từ thời điểm \(t = 0\) là:

\(\overline v  = \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \frac{{3 - 0}}{{3 - 0}} = 1(m/s)\)

a) Vì \((C)\) không cắt Ox nên không tồn tại tiếp tuyển thỏa mãn yêu cầu bài toán

b) Tọa độ giao điểm của \((C)\) với trục Oy là: \((0;1)\)

Suy ra phương trình tiếp tuyến tại giao điểm \((C)\) với trục Ox là:

\(y = y'(0)(x - 0) + 1 \Leftrightarrow y = x + 1\)

c) Tọa độ giao điểm của \((C)\) với đường thẳng \(y = x + 1\) là nghiệm của phương trình :

\({x^2} + x + 1 = x + 1 \Leftrightarrow {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm \((0;1)\)là \(y = x + 1\)

d) Gọi \(M(a;b)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) với hệ số góc \(k =  - 3\)

\( \Rightarrow y'(a)) =  - 3 \Leftrightarrow 2a + 1 =  - 3 \Leftrightarrow a =  - 2\)

Suy ra phương trình tiếp tuyến với hệ số góc \(k =  - 3\) là \(y =  - 3(x + 2) + 3 \Leftrightarrow y =  - 3x - 3\)

a) \(A'H \bot (ABCD) \Rightarrow A'H \bot AC\)

b) A’H không vuông góc (BB’C’C)

c)d) Ta có: \(A'H \bot (ABCD)\)

\( \Rightarrow HC\)là hình chiếu của \(A'C\) trên \(\left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow (\widehat {A'C,(ABCD)}) = (\widehat {A'C,HC}) = \widehat {HCA'} = {45^o}\)

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác HDC vuông tại D ta có:

\(HC = \sqrt {H{D^2} + D{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}}  = a\sqrt 5 \)

\( \Rightarrow A'H = HC.\tan {45^o} = a\sqrt 5 \)

\( \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = A'H.{S_{ABCD}} = a\sqrt 5 .{\left( {2a} \right)^2} = 4{a^3}\sqrt 5 \).

Gọi A là biến cố động cơ I chạy tốt

B là biến cố động cơ II chạy tốt

Theo giả thiết: \(P(A) = 0,8;P(B) = 0,7\)

\( \Rightarrow P(\overline A ) = 1 - 0,8 = 0,2;P(\overline B ) = 1 - 0,7 = 0,3\)

a)Gọi X là biến cố cả 2 động cơ cùng chạy tốt

Ta có X=A.B

Mà 2 biến cố A và B độc lập với nhau nên:

\(P(X) = P(A).P(B) = 0,8.0,7 = 0,56\)

b)Gọi Y là biến cố cả 2 động cơ cùng không chạy tốt

Ta có: \(Y = \overline A .\overline B \)

Mà 2 biến cố \(\overline A \); \(\overline B \) độc lập với nhau nên: \(P(Y) = P(\overline A ).P(\overline B ) = 0,2.0,3 = 0,06\)

c) Ta có biến cố: \(\overline Y \) là ít nhất 1 động cơ chạy tốt

\(P(\overline Y ) = 1 - P(Y) = 1 - 0,06 = 0,94\)

d)Gọi Z là biến cố chỉ có một động cơ chạy tốt

\(P(Z) = P(A).P(\overline B ) + P(\overline A ).P(B) = 0,8.0,3 + 0,2.0,7 = 0,38\)

Ta có: \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = s''\left( t \right)\)

\(s\left( t \right) = {t^3} - 3{t^2} - 9t \Rightarrow s'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t - 9 \Rightarrow s''\left( t \right) = 6t - 6\)

Vậy gia tốc tức thời tại thời điểm \(t = 3s\) là \(a\left( 3 \right) = 6.3 - 6 = 12m/{s^2}.\)

\(y = \frac{{{x^2} - x + 3}}{{x + 1}} \Rightarrow y' = \frac{{{x^2} + 2x - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

Do đó: \(a + b + c = 1 + 2 - 4 =  - 1.\)

Tổng số vận động viên n = 5 + 12 + 32 + 45 + 30 = 124

Gọi x₁; x₂; ...; x₁₂₄ lần lượt là thời gian chạy của 124 vận động viên tham gia hội thao được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x₁; ...; x₅ ∈ [21; 21,5), x₆; ...; x₁₇ ∈ [21,5; 22), x₁₈; ...; x₄₉ ∈ [22; 22,5), x₅₀; ...; x₉₄ ∈ [22,5; 23), x₉₅; ...; x₁₂₄ ∈ [23; 23,5).

Số trung vị của dãy số liệu là: \[\frac{{\left( {{x_{62}} + {x_{63}}} \right)}}{2}\]

Mà x₆₂; x₆₃ ∈ [22,5; 23) do đó: \({M_e} = 22,5 + \frac{{\frac{{124}}{2} - 49}}{{45}}\left( {23 - 22,5} \right) \approx 22,6\)

Vậy ban tổ chức nên chọn vận động viên có thời gian chạy không quá 22,6 giây.

Từ \(A\) kẻ \(AH \bot SD \Rightarrow AH\)là đường vuông góc chung

Chứng minh: Ta có \(AB \bot AH\,\,\left( {Do\,\,AB \bot \left( {SAD} \right)} \right)\)và \(AH \bot SD \Rightarrow AH\)là đường vuông góc chung

\( \Rightarrow d\left( {AB,\,\,SD} \right) = AH.\)

Tính \(AH:\) \(AH = \frac{{AS.AD}}{{\sqrt {A{S^2} + A{D^2}} }} = \frac{{2a.2a}}{{\sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} }} = a\sqrt 2 .\)

Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm:

\(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)....\left( {x - 1000} \right)}}{x}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)....\left( {x - 1000} \right)} \right] = \left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right).\left( { - 3} \right)....\left( { - 1000} \right) = 1000!\)

Vậy \(f'\left( 0 \right) = 1000!\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\},\,\,\)\(y' =  - \frac{{2{a^2}}}{{{x^2}}}.\)

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{a^2}}}{x}\) tại điểm \(\left( {{x_0};\frac{{2{a^2}}}{{{x_0}}}} \right)\)là đường thẳng \(\left( d \right)\) có dạng:

\(y =  - \frac{{2{a^2}}}{{{x_0}^2}}.\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{2{a^2}}}{{{x_0}}},\,\,\left( {{x_0} \ne 0,a \ne 0} \right).\)

+ Gọi \(A = d \cap Ox:\)Cho\(y = 0 \Rightarrow  - \frac{{2{a^2}}}{{{x_0}^2}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{2{a^2}}}{{{x_0}}} = 0 \Leftrightarrow x - {x_0} - {x_0} = 0 \Leftrightarrow x = 2{x_0} \Rightarrow A\left( {2{x_0};0} \right).\)

+ Gọi \(B = d \cap Oy:\) Cho \(x = 0 \Rightarrow y =  - \frac{{2{a^2}}}{{{x_0}^2}}.\left( { - {x_0}} \right) + \frac{{2{a^2}}}{{{x_0}}} = \frac{{2{a^2}}}{{{x_0}}} + \frac{{2{a^2}}}{{{x_0}}} = \frac{{4{a^2}}}{{{x_0}}} \Rightarrow B\left( {0;\frac{{4{a^2}}}{{{x_0}}}} \right).\)

+ Diện tích tam giác \(OAB\): \(S = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.\left| {2{x_0}} \right|.\left| {\frac{{4{a^2}}}{{{x_0}}}} \right| = 4{a^2}\)