Giải mục 2 trang 7, 8, 9 SGK Toán 9 tập 1 - Chân trời sáng tạo

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 7 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo

Xét hai phương trình

$2x+\frac{1}{x-2}-4=\frac{1}{x-2}(1)$ và $2x-4=0(2)$

a) Có thể biến đổi như thế nào để chuyển phương trình (1) về phương trình (2)?

b) $x=2$ có là nghiệm của phương trình (2) không? Tại sao?

c) $x=2$ có là nghiệm của phương trình (1) không? Tại sao?

Phương pháp giải:

- Quy đồng mẫu thức phương trình (1) để chuyển về phương trình (2).

- Thay $x=2$ vào phương trình (1) và phương trình (2) để kiểm tra $x=2$ có phải là nghiệm hay không.

Lời giải chi tiết:

a)

$\begin{array}{l}2x+\frac{1}{x-2}-4=\frac{1}{x-2}\\ \frac{2x(x-2)}{x-2}+\frac{1}{x-2}-\frac{4(x-2)}{x-2}=\frac{1}{x-2}\\ \frac{2x(x-2)+1-4(x-2)}{x-2}=\frac{1}{x-2}\\ \frac{2x^2-4x+1-4x+8}{x-2}=\frac{1}{x-2}\\ \frac{2x^2-8x+8}{x-2}=0\\ \frac{2(x^2-4x+4)}{x-2}=0\\ \frac{2{(x-2)}^2}{x-2}=0\end{array}$

Nếu $x-2=0$ thì phương trình vô nghĩa.

Nếu $x-2\ne 0$ suy ra $x\ne 2$ thì phương trình trở thành:

$\begin{array}{l}2(x-2)=0\\ 2x-4=0\end{array}$

Vậy để biến đổi phương trình (1) về phương trình (2) thì $x\ne 2$.

b) Thay $x=2$ vào phương trình (2) ta được:

$\begin{array}{l}2.2-4=0\\ 4-4=0\\ 0=0\end{array}$

Điều này luôn đúng nên $x=2$ là nghiệm của phương trình (2).

c) Thay $x=2$ vào phương trình (1) ta được:

$\begin{array}{l}2.2+\frac{1}{2-2}-4=\frac{1}{2-2}\\ 4+\frac{1}{0}-4=\frac{1}{0}\end{array}$

Điều này là vô lí nên $x=2$ không phải là nghiệm của phương trình (1).

TH3

Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 8 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo

Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

a) $\frac{5}{x+7}=\frac{-14}{x-5}$

b) $\frac{3}{3x-2}=\frac{x}{x+2}-1$

Phương pháp giải:

Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, để tìm điều kiện xác định của phương trình ta tìm điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0.

Lời giải chi tiết:

a) $\frac{5}{x+7}=\frac{-14}{x-5}$

Điều kiện xác định: $x+7\ne 0$ và $x-5\ne 0$

khi $x\ne -7$ và $x\ne 5$.

Vậy điều kiện xác định của phương trình là $x\ne -7$ và $x\ne 5$.

b) $\frac{3}{3x-2}=\frac{x}{x+2}-1$

Điều kiện xác định: $3x-2\ne 0$ và $x+2\ne 0$

khi $x\ne \frac{2}{3}$ và $x\ne -2$.

Vậy điều kiện xác định của phương trình là $x\ne \frac{2}{3}$ và $x\ne -2$.

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 8 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo

Cho phương trình $\frac{x}{x-2}=\frac{1}{x+1}+1$.

a) Tìm điều kiện xác định của phương trình đã cho.

b) Xét các phép biến đổi như sau:

$\begin{array}{l}\frac{x}{x-2}=\frac{1}{x+1}+1\\ \frac{x}{x-2}=\frac{x+2}{x+1}\end{array}$

$\frac{x(x+1)}{(x-2)(x+1)}=\frac{(x+2)(x-2)}{(x+1)(x-2)}$

$x^2+x=x^2-4$

$x=-4$

Hãy giải thích cách thực hiện mỗi phép biến đổi trên.

c) $x=-4$ có là nghiệm của phương trình đã cho không?

Phương pháp giải:

- Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, để tìm điều kiện xác định của phương trình ta tìm điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0.

- Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình.

- Thay $x=-4$ vào phương trình để kiểm tra có phải là nghiệm hay không.

Lời giải chi tiết:

a) Điều kiện xác định: $x-2\ne 0$ và $x+1\ne 0$

khi    $x\ne 2$ và $x\ne -1$.

Vậy điều kiện xác định của phương trình là $x\ne 2$ và $x\ne -1$.

b) $\frac{x}{x-2}=\frac{1}{x+1}+1$

Quy đồng vế phải với mẫu thức chung là $x+1$: $\frac{x}{x-2}=\frac{x+2}{x+1}$

Quy đồng cả hai vế với mẫu thức chung là $(x-2)(x+1)$: $\frac{x(x+1)}{(x-2)(x+1)}=\frac{(x+2)(x-2)}{(x+1)(x-2)}$

Hai phân thức bằng nhau có cùng mẫu thì tử bằng nhau.$x^2+x=x^2-4$

Giải phương trình ta được $x=-4$

c) Thay $x=-4$ vào phương trình, ta được:

$\begin{array}{l}\frac{-4}{(-4)-2}=\frac{1}{(-4)+1}+1\\ \frac{-4}{-6}=\frac{1}{-3}+1\\ \frac{2}{3}=\frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}-\frac{2}{3}=0\\ 0=0\end{array}$

Điều này luôn đúng nên $x=-4$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy $x=-4$ là nghiệm của phương trình đã cho.

TH4

Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 9 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo

Giải các phương trình:

a) $\frac{x+6}{x+5}+\frac{3}{2}=2$;

b) $\frac{2}{x-2}-\frac{3}{x-3}=\frac{3x-20}{(x-3)(x-2)}$.

Phương pháp giải:

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta làm như sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Xét mỗi giá trị tìm được ở Bước 3, giá trị nào thỏa mãn điều kiện xác định thì đó là nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải chi tiết:

a) $\frac{x+6}{x+5}+\frac{3}{2}=2$

Điều kiện xác định: $x\ne -5$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{x+6}{x+5}+\frac{3}{2}=2\\ \frac{2(x+6)}{2(x+5)}+\frac{3(x+5)}{2(x+5)}=\frac{2.2(x+5)}{2(x+5)}\\ 2x+12+3x+15=4x+20\\ x=-7\end{array}$

Ta thấy: $x=-7$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x=-7$.

b) $\frac{2}{x-2}-\frac{3}{x-3}=\frac{3x-20}{(x-3)(x-2)}$

Điều kiện xác định: $x\ne 2$ và $x\ne 3$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{2}{x-2}-\frac{3}{x-3}=\frac{3x-20}{(x-3)(x-2)}\\ \frac{2(x-3)}{(x-2)(x-3)}-\frac{3(x-2)}{(x-2)(x-3)}=\frac{3x-20}{(x-2)(x-3)}\\ 2x-6-3x+6=3x-20\\ 4x=20\\ x=5\end{array}$

Ta thấy $x=5$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x=5$.

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 9 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo

Hai thành phố A và B cách nhau 120km. Một ô tô di chuyển từ A đến B, rồi quay trở về A với tổng thời gian đi và về là 4 giờ 24 phút. Tính tốc độ lúc đi của ô tô, biết tốc độ lúc về lớn hơn tốc độ lúc đi là 20%.

Phương pháp giải:

- Gọi tốc độ lúc đi của ô tô là $x$ (km/h), $x>0$.

- Biểu diễn các đại lượng liên quan theo ẩn $x$ bằng công thức $s=v.t$.

- Dựa vào dữ kiện bài toán để lập phương trình ẩn $x$.

- Giải phương trình nhận được.

Lời giải chi tiết:

Gọi tốc độ lúc đi của ô tô là $x$ (km/h), $x>0$.

Thời gian lúc đi của ô tô là $\frac{120}{x}$ (giờ).

Tốc độ lúc về của ô tô là $x+20\mathrm{\%}x=1,2x$ (km/h).

Thời gian lúc về của ô tô là $\frac{120}{1,2x}$ (giờ).

Đổi 4 giờ 24 phút = $\frac{22}{5}$ giờ.

Vì tổng thời gian đi và về của ô tô là 4 giờ 24 phút nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l}\frac{120}{x}+\frac{120}{1,2x}=\frac{22}{5}\\ \frac{120.6}{6x}+\frac{120.5}{6x}=\frac{22.1,2x}{6x}\\ 720+600=\frac{132}{5}x\\ x=50\end{array}$

Ta thấy $x=50$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy tốc độ lúc đi của ô tô là 50km/h.