Giải bài tập 19 trang 58 SGK Toán 9 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{1}{{a + \sqrt a }} - \frac{1}{{\sqrt a  + 1}}} \right):\frac{{\sqrt a  - 1}}{{a + 2\sqrt a  + 1}}\) với a > 0 và a \( \ne \)1.

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của P khi a = 0,25

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{1}{{a + \sqrt a }} - \frac{1}{{\sqrt a  + 1}}} \right):\frac{{\sqrt a  - 1}}{{a + 2\sqrt a  + 1}}\\ = \left( {\frac{{\sqrt a  + 1 - a - \sqrt a }}{{\left( {a + \sqrt a } \right).\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}} \right):\frac{{\sqrt a  - 1}}{{a + 2\sqrt a  + 1}}\\\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = \left( {\frac{{1 - a}}{{a\sqrt a  + 2a + \sqrt a }}} \right):\frac{{\sqrt a  - 1}}{{a + 2\sqrt a  + 1}}\\ = \left( {\frac{{1 - a}}{{\sqrt a \left( {a + 2\sqrt a  + 1} \right)}}} \right).\frac{{a + 2\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a  - 1}}\\ = \frac{{1 - a}}{{\sqrt a .\left( {\sqrt a  - 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}{{\sqrt a .\left( {\sqrt a  - 1} \right)}}\\ = \frac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a }}\\ = 1 + \frac{1}{{\sqrt a }}\end{array}\)

b) Thay a = 0,25 vào P = \(1 + \frac{1}{{\sqrt a }}\) ta có:

P = \(1 + \frac{1}{{\sqrt {0,25} }} = 1 + \frac{1}{{\sqrt {{{\left( {0,5} \right)}^2}} }} = 1 + \frac{1}{{0,5}} = 3\).