Giải bài tập 2 trang 71 SGK Toán 9 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tam giác ABC có BC = 20 cm, \(\widehat {ABC} = {22^o},\widehat {ACB} = {30^o}\)

a) Tính khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC.

b) Tính các cạnh và các góc còn lại của tam giác ABC.

c) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

Lời giải chi tiết

a) Gọi BD là đường cao hạ từ B xuống AC.

Xét tam giác BDC, \(\widehat {ACB} = {30^o}\) ta có:

\(BD = \sin \widehat {ACB}.BC = \sin {30^o}.20 = 10cm\)

Vậy khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC chính là BD = 10 cm.

b) Xét tam giác ABC, ta có:

\(\widehat {CAB} = {180^o} - \widehat {ACB} - \widehat {ABC} = {180^o} - {30^o} - {22^o} = {128^o}\)

Xét tam giác ABD vuông tại D, \(\widehat {CAB} = {128^o}\) nên \(\widehat {DAB} = {180^o - 128^o = 52^o}\), ta có:

\(AB = \frac{{BD}}{{\sin \widehat {DAB}}} \approx 12,7\)cm

Áp dụng định lý Pythagore, ta có:

\(AD = \sqrt {A{B^2} - B{D^2}}  = \sqrt {{{12.7}^2} - {{10}^2}}  = 7,8cm\)

Xét tam giác BCD vuông tại D, \(\widehat {ACB} = {30^o}\) ta có:

\(CD = \frac{{BD}}{{\tan \widehat {ACB}}} \approx 17,3\)cm

Suy ra \(AC = CD + AD \approx 17,3 - 7,8 = 9,5 cm\).

c) Gọi AE là đường cao hạ từ A xuống BC.

Xét tam giác ACE vuông tại E, \(\widehat {ACB} = {30^o}\), ta có:

\(AE =  sin\widehat {ACB}.AC = sin 30^o.9,5 \approx 4,8 cm.\)

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC khoảng 4,8 cm.