Giải mục 2 trang 7, 8, 9 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 7 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho phương trình: \(\frac{{x + 2}}{x} = \frac{{x - 3}}{{x - 2}}\,\,\left( 1 \right)\).

Tìm điều kiện của \(x\) để cả hai mẫu thức có trong phương trình (1) là khác 0.

Cho mẫu của cả hai phân thức rồi giải điều kiện.

Phương pháp giải:

Cho mẫu của cả hai phân thức rồi giải điều kiện.

Lời giải chi tiết:

Để mẫu thức trong phương trình (1) khác 0.

\(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x - 2 \ne 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 2\end{array} \right.\)

Vậy \(x \ne 0;x \ne 2\) thì mẫu thức trong phương trình (1) khác 0.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 7 SGK Toán 9 Cánh diều

Tìm điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{x - 8}}{{x - 7}} = 8 + \frac{1}{{1 - x}}\).

Phương pháp giải:

Cho tất cả các mẫu của phương trình khác 0 để tìm điều kiện xác định của phương trình.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{x - 8}}{{x - 7}} = 8 + \frac{1}{{1 - x}}\)  là \(x - 7 \ne 0\) và \(1 - x \ne 0\) hay \(x \ne 7\) và \(x \ne 1\).

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 8 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho phương trình: \(\frac{{2x + 1}}{{2x}} = 1 - \frac{2}{{x - 3}}\,\,\,\left( 2 \right)\)

Hãy giả phương trình (2) theo các bước sau:

a. Tìm điều kiện xác định của phương trình (2).

b. Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức các phân thức ở hai vế của phương trình (2) và khử mẫu.

c. Giải phương trình vừa tìm được.

d. Kiểm tra điều kiện xác định của phương trình (2) đối với các giá trị của ẩn vừa tìm được rồi kết luận.

Phương pháp giải:

+ Bước 1: Cho mẫu thức khác 0.

+ Bước 2:

- Nhân các mẫu thức với nhau để được mẫu thức chung.

- Chia mẫu thức chung cho các mẫu thức rồi nhân lên tử để quy đồng mẫu thức.

- Khử mẫu.

+ Bước 3: Chuyển về các phương trình bậc nhất hoặc phương trình tích để giải phương trình.

+ Bước 4: Kiểm tra lại điều kiện với nghiệm vừa tìm được.

+ Bước 5: Kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết:

a. Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{2x + 1}}{{2x}} = 1 - \frac{2}{{x - 3}}\) là \(2x \ne 0\) và \(x - 3 \ne 0\) hay \(x \ne 0\) và \(x \ne 3\).

b.

+ Mẫu thức chung của phương trình là: \(2x\left( {x - 3} \right)\).

+ Quy đồng mẫu thức: \(\frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{2x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{2x\left( {x - 3} \right)}}{{2x\left( {x - 3} \right)}} - \frac{{4x}}{{2x\left( {x - 3} \right)}}\).

+ Khử mẫu: \(\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 2x\left( {x - 3} \right) - 4x\).

c. Giải phương trình:\(\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 2x\left( {x - 3} \right) - 4x\).

                                  \(\begin{array}{l}2{x^2} - 6x + x - 3 = 2{x^2} - 6x - 4x\\2{x^2} - 6x + x - 3 - 2{x^2} + 6x + 4x = 0\\5x - 3 = 0\end{array}\)

                                   \(x = \frac{3}{5}\).

d. Ta thấy \(x = \frac{3}{5}\) thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 9 SGK Toán 9 Cánh diều

Giải phương trình: \(\frac{x}{{x - 2}} + \frac{1}{{x - 3}} = \frac{2}{{\left( {2 - x} \right)\left( {x - 3} \right)}}\).

Phương pháp giải:

+ Tìm điều kiện xác định của phương trình.

+ Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

+ Giải phương trình vừa tìm được.

+ Kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện xác định: \(x \ne 2\) và \(x \ne 3\)

\(\frac{x}{{x - 2}} + \frac{1}{{x - 3}} = \frac{2}{{\left( {2 - x} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} =  - \frac{2}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\\frac{{{x^2} - 3x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} =  - \frac{2}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\{x^2} - 3x + x - 2 =  - 2\\{x^2} - 2x - 2 + 2 = 0\\{x^2} - 2x = 0\end{array}\)

\(x\left( {x - 2} \right) = 0\).

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình:

*) \(x = 0\).                                               *)\(x - 2 = 0\)

                                                               \(x = 2\).

Ta thấy:

+ \(x = 0\) thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình;

+ \(x = 2\) không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 0\).

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 10 SGK Toán 9 Cánh diều

Một đội công nhân làm đường nhận nhiệm vụ trải nhựa \(8100{m^2}\) mặt đường. Ở giai đoan đầu, đội trải được \(3600{m^2}\) mặt đường. Ở giai đoạn hai đội công nhân tăng năng suất thêm \(300{m^2}/\)ngày rồi hoàn thành công việc. Hỏi đội công nhân đã hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngày? Biết rằng năng suất lao động của đội không thay đổi ở mỗi giai đoạn và thời gian làm việc của hai giai đoạn là như nhau.

Phương pháp giải:

+ Gọi ẩn x, tìm điều kiện và đơn vị của x.

+ Biểu diễn các đại lượng theo x.

+ Tìm phương trình liên hệ giữa các đại lượng.

+ Giải phương trình.

+ Đối chiếu với điều kiện của x.

+ Kết luận x.

Lời giải chi tiết:

Gọi số ngày đội công nhân hoàn thành công việc là: x (ngày, x > 0).

Thời gian làm việc của đội ở mỗi giai đoạn là: \(\frac{x}{2}\) (ngày).

Năng suất lao động của đội ở giai đoạn 1 là: \(3600:\frac{x}{2} = \frac{7200}{x}\) (\(m^2\)/ngày).

Giai đoạn 2 đội trải được: \(8100 - 3600 = 4500\left( {{m^2}} \right)\)

Năng suất lao động của đội ở giai đoạn 2 là: \(4500:\frac{x}{2} = \frac{9000}{x}\) (\(m^2\)/ngày).

Do giai đoạn hai, đội công nhân tăng năng suất thêm \(300\) (\(m^2\)/ngày). Ta có phương trình:

\(\frac{9000}{x} - \frac{7200}{x} = 300\).

Giải phương trình: \(9000 - 7200 = 300x\)

                       \(300x = 1800\)

                       \(x = 6\) (thỏa mãn điều kiện x > 0).

Vậy đội công nhân hoàn thành công việc trong \(6\) ngày.