Lý thuyết Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên Toán 9 Cánh diều

1. Độ dài cung tròn

Tỉ số giữa chi vi C của mỗi đường tròn với đường kính d của đường tròn đó là một hằng số, kí hiệu là \(\pi \). Số \(\pi \) là số vô tỉ, cụ thể: \(\pi  = 3,1415...\)

- Chu vi đường tròn đường kính d là \(C = \pi d\).

- Chu vi đường tròn bán kính R là \(C = 2\pi R\).

Công thức tính độ dài cung tròn

Ví dụ:

Đường tròn (O; 2cm), \(\widehat {AOB} = 60^\circ \).

- Cung nhỏ AB bị chắn bởi góc ở tâm AOB.

Do đó sđ$\overset\frown{AB}=\widehat{AOB}=60{}^\circ $

Độ dài \({l_1}\) của cung AB là:

\({l_1} = \frac{{\pi Rn}}{{180}} = \frac{{\pi .2.60}}{{180}} = \frac{{2\pi }}{3} \approx 2,1\left( {cm} \right)\)

Cung lớn AnB có số đo là:

sđ$\overset\frown{AmN}=360{}^\circ -60{}^\circ =300{}^\circ $.

Độ dài \({l_2}\) của cung AnB là:

\({l_2} = \frac{{\pi .2.300}}{{180}} = \frac{{10\pi }}{3} \approx 10,5\left( {cm} \right)\)

2. Diện tích hình quạt tròn

Chú ý:

- Hình tròn tâm O bán kính R bao gồm đường tròn (O;R) và tất cả các điểm nằm trong đường tròn đó.

- Diện tích của hình tròn bán kính R là \(S = \pi {R^2}\).

Khái niệm hình quạt tròn

Diện tích hình quạt tròn

Nhận xét: Gọi \(l\) là độ dài của cung tròn có số đo \(n^\circ \) thì diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung tròn có số đo \(n^\circ \) là:

\(S = \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \frac{{\pi Rn}}{{180}}.\frac{R}{2} = \frac{{lR}}{2}\).

Ví dụ: Diện tích hình quạt tròn có độ dài tương ứng với nó là \(l = 4\pi \)cm, bán kính là R = 5cm là:

\({S_q} = \frac{{l.R}}{2} = \frac{{4\pi .5}}{2} = 10\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

3. Diện tích hình vành khuyên

Khái niệm hình vành khuyên

Diện tích hình vành khuyên

Ví dụ:  Diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là 3m và 5m là:

\({S_v} = \pi \left( {{5^2} - {3^2}} \right) = 16\pi \left( {{m^2}} \right)\)