Lý thuyết Căn thức bậc hai Toán 9 Cùng khám phá

1. Căn thức bậc hai

Khái niệm căn thức bậc hai

Ví dụ: \(\sqrt {2x - 1} \), \(\sqrt { - \frac{1}{3}x + 2} \) là các căn thức bậc hai.

Lưu ý:

\(\sqrt A \) xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm.

Ví dụ: Căn thức \(\sqrt {2x + 1} \) xác định khi \(2x + 1 \ge 0\) hay \(x \ge  - \frac{1}{2}\).

2. Căn thức bậc hai của một bình phương

Ví dụ: Với \(x < 0\), ta có 1 – x > 0. Do đó \({\left( {\sqrt {1 - x} } \right)^2} = 1 - x\).

3. Căn thức bậc hai của một tích

Lưu ý:

- Tính chất trên có thể mở rộng cho tích của nhiều biểu thức không âm.

Với các biểu thức không âm A, B, C, ta có: \(\sqrt {A.B.C}  = \sqrt A .\sqrt B .\sqrt C \)

- Với biểu thức A không âm, ta có: \(\sqrt {{A^2}}  = {\left( {\sqrt A } \right)^2} = A\).

Ví dụ: Với \(a \ge 0,b < 0\) thì \(\sqrt {25{a^2}{b^2}}  = \sqrt {{5^2}.{a^2}.{{\left( { - b} \right)}^2}}  = \sqrt {{5^2}} .\sqrt {{a^2}} .\sqrt {{{\left( { - b} \right)}^2}}  = 5.a.\left( { - b} \right) =  - 5ab\).

4. Căn thức bậc hai của một thương

Ví dụ: \(\sqrt {\frac{{49}}{{64}}}  = \frac{{\sqrt {49} }}{{\sqrt {64} }} = \frac{7}{8}\);

\(\sqrt {\frac{{4{a^2}}}{{25}}}  = \frac{{\sqrt {4{a^2}} }}{{\sqrt {25} }} = \frac{{\sqrt 4 .\sqrt {{a^2}} }}{{\sqrt {25} }} = \frac{{2\left| a \right|}}{5}\);

\(\frac{{\sqrt 8 }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{8}{2}}  = \sqrt 4  = 2\);

Với \(a > 0\) thì \(\frac{{\sqrt {52{a^3}} }}{{\sqrt {13a} }} = \sqrt {\frac{{52{a^3}}}{{13a}}}  = \sqrt {4{a^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2}}  = 2a\).

5. Trục căn thức ở mẫu

Ví dụ:

\(\frac{2}{{3\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{3{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{3.5}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{15}}\);

\(\frac{a}{{3 - 2\sqrt 2 }} = \frac{{a\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}}{{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right).\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}} = \frac{{a\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}}{{{3^2} - {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \frac{{a\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}}{{9 - 8}} = \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)a\).