Đề bài
Xét biểu thức: \(A = \left( {\frac{{x\sqrt x + 8}}{{x - 2\sqrt x + 4}} - 2\sqrt x } \right).\frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 4}}\).
a) Tìm tất cả các giá trị của biến x để tính được giá trị của biểu thức.
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của biến x tìm được trong câu a, biểu thức đã cho có giá trị không đổi.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Khi rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần phối hợp các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) và các phép biến đổi đã học (đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn; khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu).
Lời giải chi tiết
a) Nếu \(x < 0\) thì không tính được \(\sqrt x \), nếu \(x = 4\) thì phép chia cho \(x - 4\) không thực hiện được và không tính được giá trị của biểu thức đã cho.
Nếu x không âm và khác 4 thì \(x - 2\sqrt x + 4 = {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} + 3 > 0\) nên tất cả các phép toán có mặt trong biểu thức đã cho đều thực hiện được.
Vậy tập hợp các giá trị của biến x để tính được giá trị của biểu thức là \(\left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {x \ge 0,x \ne 4} \right.} \right\}\).
b) Với x không âm và khác 4 thì
\(x\sqrt x + 8 = {\left( {\sqrt x } \right)^3} + {2^3} = \left( {x - 2\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\)
và \(\frac{{x\sqrt x + 8}}{{x - 2\sqrt x + 4}} = \sqrt x + 2\).
Do đó
\(A = \left( {\frac{{x\sqrt x + 8}}{{x - 2\sqrt x + 4}} - 2\sqrt x } \right).\frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 4}} \\= \left( {\sqrt x + 2 - 2\sqrt x } \right).\frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 4}}\\= \left( {2 - \sqrt x } \right).\frac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = - 1\)
Vậy với mọi giá trị của biến x tìm được trong câu a, biểu thức đã cho nhận giá trị không đổi.
English
French
Spanish
Russian