Giải bài 6 trang 64 vở thực hành Toán 9

Đề bài

Không dùng MTCT, tính ${\left(\sqrt[3]{5}.\sqrt[3]{7}\right)}^3$. Sử dụng kết quả nhận được, hãy giải thích vì sao $\sqrt[3]{5}.\sqrt[3]{7}=\sqrt[3]{5.7}$

Lời giải chi tiết

Áp dụng quy tắc lũy thừa của một tích ta có ${\left(a.b\right)}^3=a^3.b^3$. Vì vậy ${\left(\sqrt[3]{5}.\sqrt[3]{7}\right)}^3={\left(\sqrt[3]{5}\right)}^3.{\left(\sqrt[3]{7}\right)}^3=5.7=35$.

Mặt khác, theo định nghĩa căn bậc ba ta có ${\left(\sqrt[3]{5}\right)}^3=5$ và ${\left(\sqrt[3]{7}\right)}^3=7$. Do đó ${\left(\sqrt[3]{5}.\sqrt[3]{7}\right)}^3=5.7$ (*)

Lại theo định nghĩa căn bậc ba, từ (*) suy ra $\sqrt[3]{5}.\sqrt[3]{7}=\sqrt[3]{5.7}$.

Nhận xét. Một cách tổng quát, có thể chứng minh các quy tắc nhân, chia, nâng lên lũy thừa các căn bậc ba sau đây:

• $\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{a.b}$ (Quy tắc nhân hai căn bậc ba);
• $\sqrt[3]{a}:\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{a:b},\left(b\ne 0\right)$ (Quy tắc chia hai căn bậc ba);

${\left(\sqrt[3]{a}\right)}^n=\sqrt[3]{a^n},\left(n\in \mathbb{N}\right)$ (Quy tắc nâng lên lũy thừa một căn bậc ba).