Đề thi vào 10 môn Toán Tiền Giang năm 2023

Đề bài

Câu 1:

1. Tính giá trị của biểu thức \(A = \sqrt {27} {\rm{ \;}} - \frac{3}{{\sqrt 3 }} - \sqrt 3 \).

2. Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) \({x^2} + 3x - 10 = 0\);

b) \({x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\);

c) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + y = 2}\\{x - y = 6}\end{array}} \right.\)

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = 2x + 3\).

1. Vẽ parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right)\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

2. Bằng phép tính, tìm tọa độ các giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\).

Câu 3: 

1. Gọi \({x_1}\) và \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} + x - 10 = 0\). Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2 - 3{x_1}{x_2}\)

2. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} + \left( {m + 1} \right)x + \frac{1}{4}{m^2} + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

Câu 4: Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích bằng \(150\;{{\rm{m}}^2}\). Hơi khu vườn có chiều dài và chiều rộng bằng bao nhiêu mét, biết rằng chiều dài lơn hơn chiều rộng \(5\;{\rm{m}}\) ?

Câu 5: Cho nửa đường tròn tâm \(O\) đường kính AB. Trên nửa đường tròn đó lấy điểm \(C(C\) khác \(A\) và \(B\) ), kẻ CH vuông góc với AB tại \(H\). Gọi \(K\) là điểm nằm giữa \(C\) và \(H\), tia AK cắt đường tròn tại điểm thứ hai là \(D\).

1. Chứng minh BHKD là một tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh tam giác ACK đồng dạng với tam giác ADC và chứng minh \(AK \cdot AD = A{C^2}\).

Câu 6: Một hình trụ có bán kính đáy bằng \(4\;{\rm{cm}}\), chiều cao bằng \(12\;{\rm{cm}}\). Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ đã cho.

----- HẾT -----

Lời giải chi tiết

Câu 1 (TH):

Phương pháp:

1. Khai căn và tính giá trị biểu thức.

2. a) Tính \(\Delta \) và giải phương trình

b) Đặt \(t = {x^2}\)

c) Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

Cách giải:

1.

\(\begin{array}{*{20}{r}}{A = \sqrt {27} {\rm{\;}} - \frac{3}{{\sqrt 3 }} - \sqrt 3 }&{}\\{A = \sqrt {{3^2} \cdot 3} {\rm{\;}} - \frac{{{{(\sqrt 3 )}^2}}}{{\sqrt 3 }} - \sqrt 3 }&{}\\{A = 3\sqrt 3 {\rm{\;}} - \sqrt 3 {\rm{\;}} - \sqrt 3 }&{}\\{A = \left( {3 - 1 - 1} \right)\sqrt 3 }&{}\\{A = \sqrt 3 }&{}\end{array}\)

Vậy \(A = \sqrt 3 \).

2. Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) \({x^2} + 3x - 10 = 0\)

Ta có: \(\Delta  = {3^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 10} \right) = 49 > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = \frac{{ - 3 + \sqrt {49} }}{{2.1}} = 2}\\{{x_2} = \frac{{ - 3 - \sqrt {49} }}{{2.1}} = {\rm{ \;}} - 5}\end{array}} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {2; - 5} \right\}\).

b) \({x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\).

Đặt \(t = {x^2} \ge 0\), phương trình trở thành \({t^2} - 8t - 9 = 0\).

Ta có \(a - b + c = 1 - \left( { - 8} \right) + \left( { - 9} \right) = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Với \(t = 9 \Rightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = {\rm{ \;}} \pm 3\).

Vạy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { \pm 3} \right\}\).

c) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + y = 2}\\{x - y = 6}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + y = 2}\\{x - y = 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x = 8}\\{y = x - 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = {\rm{ \;}} - 4}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {2; - 4} \right)\)

Câu 2 (TH):

Phương pháp:

a) Tìm 2 điểm để vẽ đường thẳng d và 5 điểm để vẽ parabol P.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm và tìm 2 nghiệm của phương trình đó.

Cách giải:

a) Vẽ parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right)\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Vẽ đường thẳng \(\left( d \right)\) :

Với \(x = 0\) thì \(y = 2.0 + 3 = 3\)

Với \(x = 1\) thì \(y = 2.1 + 3 = 5\)

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số \(y = 2x + 3\) là đường thẳng đi qua \(M\left( {0;3} \right)\) và \(N\left( {1;5} \right)\)

Vẽ parabol \(\left( P \right)\) :

Ta có bảng giá trị sau:

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm \(O\left( {0;0} \right);A\left( { - 2;4} \right);B\left( { - 1;1} \right);C\left( {1;1} \right);D\left( {2;4} \right)\)

Hệ số \(a = 1 > 0\) nên parabol có bể cong hướng lên. Đồ thị hàm số nhận \({\rm{Oy}}\) làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) như sau:

b) Bằng phép tính, tìm tọa độ các giao điểm \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) ta có:

\({x^2} = 2x + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0\)

Ta có: \(a - b + c = 1 - \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {\rm{ \;}} - 1}\\{x = {\rm{ \;}} - \frac{c}{a} = 3}\end{array}} \right.\).

Với \(x = {\rm{ \;}} - 1\) thì \(y = {( - 1)^2} = 1\)

Với \(x = 3\) thì \(y = {3^2} = 9\)

Vậy \(\left( P \right)\) cắt \(\left( d \right)\) tại 2 điểm có tọa độ là: \(\left( { - 1;1} \right)\) và \(\left( {3;9} \right)\).

Câu 3 (VD):

Phương pháp:

1. Áp dụng hệ thức vi-et \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = {\rm{ \;}} - \frac{b}{a}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}}\end{array}} \right.\)

2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta {\rm{ \;}} > 0\)

Cách giải:

1. Do \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} + x - 10 = 0\) nên áp dụng hệ thức Vi-et ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = {\rm{ \;}} - 1}\\{{x_1}{x_2} = {\rm{ \;}} - 10}\end{array}} \right.\)

Ta có \(A = x_1^2 + x_2^2 - 3{x_1}{x_2}\)

\(\begin{array}{*{20}{r}}{ = x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 5{x_1}{x_2}}&\;\\{ = {{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 5{x_1}{x_2}}&\;\\{ = {{( - 1)}^2} - 5\left( { - 10} \right)}&\;\\{ = 51}&\;\end{array}\)

Vây \(A = 51\).

2. Ta có \(\Delta  = {(m + 1)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( {\frac{1}{4}{m^2} + 1} \right) = {m^2} + 2m + 1 - {m^2} - 4 = 2m - 3\)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta  > 0 \Leftrightarrow 2m - 3 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{3}{2}\)

Vậy \(m > \frac{3}{2}\) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

Câu 4 (TH):

Phương pháp:

- Gọi chiều dài hình chữ nhật là x, khi đó chiều rộng là x – 5.

- Ta tìm được phương trình là: Chiều dài nhân với chiều rộng bằng 150.

Cách giải:

Gọi chiều dài hình chữ nhật là \(x(x > 5\), mét)

Do chiều dài lớn hơn chiều rộng \(5\;{\rm{m}}\) nên chiều rộng hình chữ nhật là \(x - 5\left( {\;{\rm{m}}} \right)\)

Diện tích hình chữ nhật là \(x\left( {x - 5} \right)\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\)

Do diện tích khu vườn bằng \(150\;{{\rm{m}}^2}\) nên ta có phương trình

\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{x\left( {x - 5} \right) = 150}\\{}&{{x^2} - 5x - 150 = 0}\end{array}\)

Ta có \(\Delta  = {( - 5)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 150} \right) = 625 > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = \frac{{ - \left( { - 5} \right) + \sqrt {625} }}{2} = 15\left( {{\rm{tm}}} \right)}\\{{x_2} = \frac{{ - \left( { - 5} \right) - \sqrt {625} }}{2} = {\rm{ \;}} - 10\left( {{\rm{ktm}}} \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy chiều dài hình chữ nhật là \(15\;{\rm{m}}\), chiều rộng hình chữ nhật là \(10\;{\rm{m}}\).

Câu 5 (VD):

Phương pháp:

1. Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \) là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh  từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Cách giải:

1. Do \(CH \bot AB\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle KHB = 90^\circ \)

Ta có \(\angle ADB = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \angle KHB + \angle KDB = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \)

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác HKDB nội tiếp (dhnb) (đpcm)

2. Ta có \(\angle ACB = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \angle ACH + \angle HCB = 90^\circ \)

Mà \(\angle HCB + \angle HBC = 90^\circ \) (do  vuông tại \({\rm{H}}\) )

\( \Rightarrow \angle ACH = \angle ABC\) (cùng phụ \(\angle HCB)\)

Mà \(\angle ABC = \angle ADC\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \({\rm{AC}}\) )

\( \Rightarrow \angle ACH = \angle CDA\;{\rm{hay}}\;\angle ACK = \angle CDA\)

Xét \(\Delta ACK\) và \(\Delta ADC\) có:

\(\angle ACK = \angle CDA\)

\(\angle CAD\) chung

\(\Rightarrow \Delta ACK\backsim \Delta ADC\) (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{AK}}{{AC}} \Leftrightarrow A{C^2} = AD \cdot AK\) (đpcm)

Câu 6 (TH):

Phương pháp:

Áp dụng công thức:

\({S_{{\rm{sq}}}} = 2\pi rh\)

\(V = \pi {r^2}h\)

Cách giải:

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

\({S_{{\rm{sq}}}} = 2\pi rh = 2\pi {\rm{ \;}} \cdot 4 \cdot 12 = 96\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)

Thể tích của hình trụ là:

\(V = \pi {r^2}h = \pi {\rm{ \;}} \cdot {4^2} \cdot 12 = 192\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)

Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là \(96\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\), thể tích hình trụ là: \(192\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).

-----HẾT-----