Đề bài
Câu 1 (2 điểm):
Rút gọn các biểu thức sau:
a)
b)
Câu 2 (2,5 điểm):
a) Giải phương trình
b) Trong mặt phẳng tọa độ
Câu 3 (1,5 điểm):
Trong quý I, cả hai tổ A và B sản xuất được 610 sản phẩm. Trong quý II, số sản phẩm tổ A tăng thêm 10%, tổ B tăng thêm 14% so với quý I, do đó cả hai tổ sản xuất được 681 sản phẩm. Hỏi trong quý I, mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?
Câu 4 (1 điểm):
Cho tam giác
Câu 5 (2 điểm):
Cho đường tròn tâm O, đường kính MN, điểm I thay đổi trên đoạn OM (I khác M). Đường thẳng qua I vuông góc với MN cắt (O) tại P và Q. Trên tia đối của tia NM lấy điểm S cố định. Đoạn PS cắt (O) tại E, gọi H là giao điểm của EQ và MN.
a) Chứng minh tam giác SPN và tam giác SME đồng dạng.
b) Chứng minh độ dài OH không phụ thuộc vào vị trí điểm I.
Câu 6 (1 điểm):
Cho
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Câu 1 - Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba
Phương pháp:
a) Đặt nhân tử chung, rút gọn biểu thức đã cho.
b) Quy đồng mẫu các phân thức, rút gọn biểu thức đã cho.
Cách giải:
Rút gọn các biểu thức sau:
a)
Ta có:
b)
Ta có:
Vậy
Câu 2 - Ôn tập tổng hợp chương 2, 3, 4 - Đại số
Phương pháp:
a) Đặt
Giải phương trình tìm ẩn
b) Hai đường thẳng
Thay tọa độ điểm
Từ đó giải hệ phương trình tìm
Cách giải:
a) Giải phương trình
Đặt
Với
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
b) Trong mặt phẳng tọa độ
Vì hai đường thẳng
Suy ra đường thẳng
Vì đường thẳng
Vậy
Câu 3 - Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Phương pháp:
Gọi số sản phẩm tổ A và tổ B sản xuất được trong quý I lần lượt là
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn
Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.
Cách giải:
Trong quý I, cả hai tổ A và B sản xuất được 610 sản phẩm. Trong quý II, số sản phẩm tổ A tăng thêm 10%, tổ B tăng thêm 14% so với quý I, do đó cả hai tổ sản xuất được 681 sản phẩm. Hỏi trong quý I, mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?
Gọi số sản phẩm tổ A và tổ B sản xuất được trong quý I lần lượt là
Vì trong quý I, cả hai tổ A và B sản xuất được 610 sản phẩm nên ta có phương trình
Trong quý II:
Tổ A tăng thêm 10% so với quý I nên tổ A sản xuất được
Tổ B tăng thêm 14% so với quý I nên tổ B sản xuất được
Và cả 2 tổ sản xuất được 681 sản phẩm nên ta có phương trình
Ta có hệ phương trình:
Vậy trong quý I, tổ A sản xuất được 360 sản phẩm, tổ B sản xuất được 250 sản phẩm.
Câu 4 - Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Phương pháp:
Sử dụng định lý Pitago và các hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính.
Cách giải:
Cho tam giác
Xét tam giác
Xét tam giác
Vậy
Câu 5 - Ôn tập chương 3: Góc với đường tròn
Cách giải:
Cho đường tròn tâm O, đường kính MN, điểm I thay đổi trên đoạn OM (I khác M). Đường thẳng qua I vuông góc với MN cắt (O) tại P và Q. Trên tia đối của tia NM lấy điểm S cố định. Đoạn PS cắt (O) tại E, gọi H là giao điểm của EQ và MN.
a) Chứng minh tam giác SPN và tam giác SME đồng dạng.
Ta có: bốn điểm
Xét
b) Chứng minh độ dài OH không phụ thuộc vào vị trí điểm I.
Từ câu a,
Ta có:
Xét
Từ (1) và (2) suy ra
Mà
Vậy độ dài
Câu 6 - Bất đẳng thức
Cách giải:
Ta có:
Áp dụng các BĐT cơ bản