Đề thi vào 10 môn Toán Yên Bái năm 2022

Đề bài

Câu 1: Cho $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại A, có AB = 3 và AC = 4. Khi đó độ dài của BC bằng:

     A. 1                                    B. 25                                       C. 7                                        D. 5           

Câu 2: Nghiệm của phương trình $2x+1=0$ là:

     A. $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ B. $x=2$                           C. $x=1$                          D. $x={\displaystyle \frac{-1}{2}}$                                

Câu 3: Kết quả của phép toán $\left(x+1\right)\left(x-2\right)$ bằng:

     A. $x^2-x+2$         B. $x^2-3x+2$           C. $x^2-x-2$              D. $x^2+x-2$    

Câu 4: Trong một đường tròn, góc nội tiếp chắn cung ${80}^0$ có số đo bằng:

     A. ${20}^0$                 B. ${100}^0$                    C. ${160}^0$                   D. ${40}^0$

Câu 5: Khẳng định nào sau đây là đúng?

     A. $\sin {37}^0=\cos {53}^0$                              B. $\sin {37}^0=\cos {43}^0$       C. $\sin {37}^0=\tan {53}^0$     D. $\sin {37}^0=\cot {53}^0$

Câu 6: Đường thẳng đi qua điểm A(0; 4) và song song với đường thẳng $y={\displaystyle \frac{1}{3}}x-7$ có phương trình là:

     A. $y={\displaystyle \frac{1}{3}}x+4$                                        B. $y=-3x+4$               C. $y=-3x-4$     D. $y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x+4$                                    

Câu 7: Đồ thị hàm số $y=-2022x^2$ đi qua điểm nào trong các điểm sau đây?

     A. N(-1; 2022)                   B. Q(0; -2022)                        C. P(0;2022)                           D. M(-1;-2022) 

Câu 8: Điều kiện của x để biểu thức $\sqrt{5-x}$ có nghĩa là:

     A. $x>5$                      B. $x\ne 5$                      C. $x\le 5$                       D. $x\ge 5$ 

Câu 9: Phương trình nào sau đây không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn?

     A. $x+3y=-1$          B. $-x+10y=5$            C. ${\displaystyle \frac{1}{x}}-3y=-2$               D. $x+2y=-1$                            

Câu 10: Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số $y=2x+2$?

     A. M(0; 2)                         B. P(1; 0)                                C. N(-1; 2)                              D. Q(0; -1) 

Câu 11: Điều kiện xác định của biểu thức $P=\sqrt{x-1}+{\displaystyle \frac{1}{x-2}}$ là:

     A. $x>2$                      B. $x\ge 1$ và $x\ne 2$                                            C. $x\ge 2$  D. $x\ge 1$                          

Câu 12: Cho mặt cầu có thể tích $V=288\pi c{m}^3$. Đường kính mặt cầu bằng:

     A. 4cm                               B. 12cm                                  C. 8cm                                    D. 6cm       

Câu 13: Nghiệm tổng quát của phương trình $-x+3y=1$ là:

     A. $\{\begin{array}{l}x\in \mathbb{R}\\ y=x+1\end{array}$                B. $\{\begin{array}{l}x\in \mathbb{R}\\ y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$                                C. $\{\begin{array}{l}x\in \mathbb{R}\\ y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$                                 D. $\{\begin{array}{l}x\in \mathbb{R}\\ y={\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$                  

Câu 14: Cho hai số x; y thỏa mãn ${\displaystyle \frac{x}{2}}={\displaystyle \frac{y}{5}}$ và $x+y=14$. Giá trị của x là:

     A.  x = -4                           B. x = 10                                C. x = 4                                  D. x = -10  

Câu 15: Số phần tử của tập hợp $A=\left\{a;b;c;d\right\}$ là:

     A. 5                                    B. 4                                         C. 3                                        D. 2           

Câu 16: Cho hàm số $y=\left(m-1\right)x^2$. Các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho là một parabol nằm phía dưới trục hoành.

     A. $m>1$                    B. $m\ne 1$                     C. $m=1$                         D. $m<1$   

Câu 17: Đường thẳng đi qua hai điểm P(-1; 4) và Q(2; -5) có phương trình là:

     A. $y=-3x+1$          B. $y=-2x-1$                C. $y=x-3$                     D. $y=x+3$    

Câu 18: Cho $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{3}{5}}$ với $0^0<\alpha <{90}^0$. Giá trị của $\tan \alpha$ bằng:

     A. ${\displaystyle \frac{4}{3}}$       B. ${\displaystyle \frac{3}{4}}$             C. ${\displaystyle \frac{4}{5}}$            D. ${\displaystyle \frac{5}{3}}$    

Câu 19: Cho hai điểm A, B thuộc đường tròn (O). Biết $\mathrm{\angle }AOB={55}^0$. Số đo cung nhỏ AB bằng:

     A. ${35}^0$                 B. ${55}^0$                      C. ${110}^0$                   D. ${135}^0$    

Câu 20: Cho hai đường tròn (O; 3cm) và (O’; 2cm). Biết OO’ = 4cm. Vị trí tương đối của (O) và (O’) là:

     A. không có điểm chung   B. cắt nhau                             C. tiếp xúc trong                    D. tiếp xúc ngoài

Câu 21: Công thức tính thể tích V của hình trụ có bán kính đáy r, chiều cao h là:

     A. $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h$                             B. $V=\pi r^{2}h$          C. $V={\displaystyle \frac{1}{2}}\pi rh$          D. $V=2\pi rh$              

Câu 22: Cho $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại A có $\mathrm{\angle }ABC={30}^0$ và BC = 4cm. Độ dài cạnh AC bằng:

     A. 2cm                               B. 6cm                                    C. $2\sqrt{3}cm$             D. $4\sqrt{3}cm$    

Câu 23: Cho đường tròn (O; 25cm). Dây lớn nhất của đường tròn có độ dài bằng:

     A. 25cm                             B. 20cm                                  C. 50cm                                  D. $625\sqrt{3}cm$                                     

Câu 24: Số ước nguyên dương của 24 là:

     A. 12                                  B. 4                                         C. 8                                        D. 24         

Câu 25: Giá trị lớn nhất của biểu thức $M=-x^2+4x-10$ bằng:

     A. -5                                  B. 4                                         C. -6                                       D. 0           

Câu 26: Cho nửa đường tròn đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn sao cho sđ cung AC $={110}^0$. Kẻ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn (hình vẽ). Số đo góc hợp bởi hai tia Ax và AC là:

     A. ${70}^0$                 B. ${35}^0$                      C. ${110}^0$                   D. ${55}^0$

Câu 27: Cho đường tròn (O; 5cm). Khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d là 6cm. Số điểm chung của đường thẳng d và đường tròn là:

     A. vô số                             B. 1                                         C. 0                                        D. 2           

Câu 28: Biểu thức $2^3{.2}^4{.2}^5$ có giá trị bằng:

     A. $2^7$                    B. $2^{12}$                   C. $2^9$                        D. $2^{60}$    

Câu 29: Hệ số góc của đường thẳng $y=5x-1$ là:

     A. -1                                  B. 1                                         C. 5                                        D. -5          

Câu 30: Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $2x^2-3x+1=0$. Khi đó

     A. $x_1{x}_2=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$                             B. $x_1{x}_2=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$      C. $x_1{x}_2={\displaystyle \frac{3}{2}}$                                          D. $x_1{x}_2={\displaystyle \frac{1}{2}}$        

Câu 31: Giá trị của biểu thức $\sqrt{25}-3$ bằng:

     A. 16                                  B. 22                                       C. 2                                        D. -8          

Câu 32: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên $\mathbb{R}?$

     A. $y=-2x+3$          B. $y=-3-x$                  C. $y=3-4x$                   D. $y=2x+1$    

Câu 33: Số nghiệm của phương trình $x^2-6x+10=0$ là:

     A. 0                                    B. 3                                         C. 2                                        D. 1           

Câu 34: Cho tứ giác nội tiếp ABCD có $\mathrm{\angle }A={70}^0$ và $\mathrm{\angle }B={60}^0$. Khẳng định nào sau đây đúng?

     A. $\mathrm{\angle }D={110}^0$                                          B. $\mathrm{\angle }C={120}^0$ C. $\mathrm{\angle }D={130}^0$                            D. $\mathrm{\angle }C={110}^0$

Câu 35: Giá trị của biểu thức ${\displaystyle \frac{\sqrt{8}-\sqrt{27}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}}-\sqrt{6}$ bằng:

     A. $5+2\sqrt{6}$        B. $1$                                 C. $5$                                D. $5-2\sqrt{6}$    

Câu 36: Kết quả của biểu thức $A={\displaystyle \frac{4x}{x-9}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+3}}$ (với $x\ge 0;x\ne 9$) có dạng ${\displaystyle \frac{m\sqrt{x}+n}{\sqrt{x}-3}}$ với $m,n\in \mathbb{R}$. Giá trị của biểu thức $m-n$ là:

     A. 4                                    B. -4                                       C. 2                                        D. 3           

Câu 37: Cho hai đường tròn (O; 12cm) và (I; 16cm) cắt nhau tại hai điểm A, B. Biết AB = 19,2cm. Khoảng cách OI bằng:

     A. 20cm                             B. 9,8cm                                 C. 9,6cm                                 D. 5,6cm    

Câu 38: Cho parabol $\left(P\right):y=x^2$ và đường thẳng $\left(d\right):y=2mx-m+3$. Giá trị của tham số m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1;x_2$ thỏa mãn ${\displaystyle \frac{1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{1}{x_2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$ là:

     A. m = 6                            B. m = 9                                 C. m = -6                                D. m = -9   

Câu 39: Giá trị của tham số m để hệ phương trình $\{\begin{array}{l}2x+y=5m+1\\ x+3y=5m+3\end{array}$ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn $x-y=5$ là:

     A. m = 6                            B. m = 4                                 C. m = 3                                 D. m = -2   

Câu 40: Cho $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại A, đường cao $AH\left(H\in BC\right)$. Biết HB = 12,5cm và $\mathrm{\angle }B={65}^0$. Độ dài cạnh AC (kết quả làm tròn đến chữ số thứ hai phân thập phân) bằng:

     A. 64,41cm                        B. 63,43cm                             C. 13,78cm                             D. 25cm     

Câu 41: Số nghiệm của phương trình $2x^4-3x^2-20=0$ là:

     A. 1                                    B. 2                                         C. 4                                        D. 0           

Câu 42: Khoảng cách từ gốc tọa độ O(0; 0) đến đường thẳng 4x – 3y + 10 = 0 bằng:

     A. 10                                  B. 5                                         C. 2                                        D. 4           

Câu 43: Cho phương trình $x^2-2x-m+1=0$. Điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu là:

     A. m > 3                            B. m < -1                                C. m > 1                                 D. m > 2    

Câu 44: Cho đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 4x – 3 đồng thời cắt trục Ox tại A, cắt trục Oy tại B. Biết diện tích $\mathrm{\Delta }OAB$ bằng 2. Giá trị của biểu thức $T=a^2+b^2$ là:

     A. T = 40                           B. T = 24                                C. T = 32                                D. T = 16   

Câu 45: Cho đường tròn (O; 15cm), dây AB = 24cm. Một tiếp tuyến song song với AB cắt các tia OA; OB theo thứ tự E và F. Độ dài EF bằng:

     A. 48cm                             B. 42cm                                  C. 40cm                                  D. 20cm     

Câu 46: Cho đường tròn (O) đường kính $AB=2\sqrt{3}cm$ và C là điểm chính giữa của cung AB. Cung AmB có tâm C, bán kính CA (hình vẽ). Diện tích phần gạch chéo bằng:

     A. ${\displaystyle \frac{9}{4}}c{m}^2$                                      B. ${\displaystyle \frac{4\pi }{3}}c{m}^2$      C. $3\pi c{m}^2$                 D. $3c{m}^2$                  

Câu 47: Số các giá trị của tham số m để phương trình $x^2-2mx+2m+3=0$ có hai nghiệm nguyên phân biệt là:

     A. 3                                    B. 1                                         C. 2                                        D. 4           

Câu 48: Từ hai vị trí A, B của một tòa nhà, người ta dùng một dụng cụ quan sát đỉnh C của ngọn núi (hình vẽ). Biết rằng chiều cao AB của tòa nhà là 70m, phương nhìn AC tạo với phương ngang góc ${30}^0$, phương nhìn BC tạo với phương ngang góc ${15}^0{30}^{\prime }$. Ngọn núi đó có chiều cao so với mặt đất gần với kết quả nào sau đây nhất?

     A. 145m                             B. 140m                                  C. 135m                                 D. 130m    

Câu 49: Cho hình bình hành ABCD ($\mathrm{\angle }A>{90}^0$). Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của C lên AD, DB và AB. Biết MN = 5 và NP = 4. Độ dài đoạn CN gần với kết quả nào sau đây nhất?

     A. 4,4                                 B. 4,6                                      C. 4,8                                     D. 4,2        

Câu 50: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn $x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}={\displaystyle \frac{3}{2}}$. Giá trị của biểu thức $P=x^4+y^4+z^4$ là:

            A. $1$         B. ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ C. ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ D. ${\displaystyle \frac{1}{2}}$

Lời giải

BẢNG ĐÁP ÁN

Câu 1 (NB):

Phương pháp:

Áp dụng định lý Py – ta – go.

Cách giải:

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Py – ta – go, ta có:

$\begin{array}{l}B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2\\ \iff B{C}^2=3^2+4^2=25\\ \iff B{C}^2=5^2\\ \Rightarrow BC=5\end{array}$

Vậy BC = 5

Chọn D.

Câu 2 (NB):

Phương pháp:

Giải phương trình: $ax+b=0\left(a\ne 0\right)\iff x={\displaystyle \frac{-b}{a}}$

Cách giải:

$\begin{array}{l}2x+1=0\\ \iff 2x=-1\\ \iff x={\displaystyle \frac{-1}{2}}\end{array}$

Vậy $x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Chọn D.

Câu 3 (NB):

Phương pháp:

Thực hiện $\left(A+B\right)\left(C+D\right)=AC+AD+BC+BD$

Cách giải:

$\left(x+1\right)\left(x-2\right)$$=x^2-2x+x-2=x^2-x-2$

Chọn C.

Câu 4 (NB):

Phương pháp:

Số đo góc nội tiếp $={\displaystyle \frac{1}{2}}$ số đo cung chắn

Cách giải:

Góc nội tiếp có số đo là: ${\displaystyle \frac{1}{2}}{.80}^0={40}^0$

Chọn D.

Câu 5 (NB):

Phương pháp:

$\sin \left({90}^0-\alpha \right)=\cos \alpha$

Cách giải:

$\sin {37}^0=\sin \left({90}^0-{53}^0\right)=\cos {53}^0$

Chọn A.

Câu 6 (TH):

Phương pháp:

Viết phương trình đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ biết $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $A\left(x_A;y_A\right)$ và song song với $d:y=a^{\prime }x+b^{\prime }$ ($a^{\prime };b^{\prime }$  đã biết)

Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng$\mathrm{\Delta }$ là $y=ax+b$

Bước 2: Vì $\mathrm{\Delta }//d\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=a^{\prime }\\ b\ne b^{\prime }\end{array}$$\Rightarrow d:y=a^{\prime }x+b$

Bước 3: $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $A\left(x_A;y_A\right)$, từ đó tìm được $b$, đối chiếu điều kiện ở trên

Bước 4: Kết luận phương trình đường thẳng cần tìm.

Cách giải:

Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là: $y=ax+b$

Vì đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng $y={\displaystyle \frac{1}{3}}x-7$ nên $\{\begin{array}{l}a={\displaystyle \frac{1}{3}}\\ b\ne -7\end{array}$

Do đó, phương trình cần tìm có dạng: $y={\displaystyle \frac{1}{3}}x+b\left(b\ne -7\right)$

Vì đường thẳng cần tìm đi qua điểm A(0; 4) nên ta có: $4={\displaystyle \frac{1}{3}}.0+b\Rightarrow b=4$ (tmđk)

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: $y={\displaystyle \frac{1}{3}}x+4$

Chọn A.

Câu 7 (NB):

Phương pháp:

Đồ thị hàm số $\left(P\right):y=a{x}^2\left(a\ne 0\right)$ đi qua điểm $A\left(x_A;y_A\right)$ khi $\left(P\right):y_A=a{x_A}^2\left(a\ne 0\right)$

Cách giải:

+ Thay $x=-1$ vào $y=-2022x^2$, ta được: $y=-2022.{\left(-1\right)}^2=-2022$

Suy ra đồ thị hàm số $y=-2022x^2$ đi quả điểm M(-1; -2022)

Chọn D.

Câu 8 (NB):

Phương pháp:

Biểu thức $\sqrt{f\left(x\right)}$ có nghĩa $\iff f\left(x\right)\ge 0$

Cách giải:

Biểu thức $\sqrt{5-x}$ có nghĩa $5-x\ge 0\iff x\le 5$

Vậy biểu thức $\sqrt{5-x}$ có nghĩa khi $x\le 5$

Chọn C.

Câu 9 (NB):

Phương pháp:

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: $ax+by=c$

Cách giải:

Phương trình: ${\displaystyle \frac{1}{x}}-3y=-2$ không là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Chọn C.

Câu 10 (NB):

Phương pháp:

Đường thẳng $\left(d\right):y=ax+b$ đi qua điểm $A\left(x_A;y_A\right)$ khi $y_A=a{x}_A+b$.

Cách giải:

Thay x = 0 vào $y=2x+2$, ta được: y = 2.0 + 2 = 2

Vậy điểm M(0; 2) thuộc đồ thị hàm số $y=2x+2$.

Chọn A.

Câu 11 (TH):

Phương pháp:

Biểu thức $\sqrt{f\left(x\right)}$ có nghĩa $\iff f\left(x\right)\ge 0$

Biểu thức ${\displaystyle \frac{1}{g\left(x\right)}}$ có nghĩa $\iff g\left(x\right)\ne 0$

Cách giải:

Điều kiện xác định của biểu thức P là: $\{\begin{array}{l}x-1\ge 0\\ x-2\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge 1\\ x\ne 2\end{array}$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức P là: $x\ge 1$ và $x\ne 2$

Chọn B.

Câu 12 (TH):

Phương pháp:

Thể tích của mặt cầu có bán kính R là: $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3$

Cách giải:

Gọi R (điều kiện: R > 0) là bán kính của mặt cầu.

Thể tích của mặt cầu là: ${\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3=288\pi \Rightarrow R=6$ (cm)

Đường kính mặt cầu là: 2R = 2.6 = 12 (cm)

Chọn B.

Câu 13 (NB):

Phương pháp:

Phương trình $ax+by=c$ (với $a\ne 0,b\ne 0$) có nghiệm tổng quát là $\{\begin{array}{l}x\in \mathbb{R}\\ y=-{\displaystyle \frac{a}{b}}x+{\displaystyle \frac{c}{b}}\end{array}$

Cách giải:

Phương trình $-x+3y=1$ có nghiệm tổng quát là: $\{\begin{array}{l}x\in \mathbb{R}\\ y={\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$

Chọn D.

Câu 14 (TH):

Phương pháp:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Cách giải:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: ${\displaystyle \frac{x}{2}}={\displaystyle \frac{y}{5}}={\displaystyle \frac{x+y}{2+5}}={\displaystyle \frac{14}{7}}=2$

Khi đó, ${\displaystyle \frac{x}{2}}=2\Rightarrow x=4$

Vậy x = 4

Chọn C.

Câu 15 (NB):

Phương pháp:

Thực hiện đếm số phần tử của tập hợp A.

Cách giải:

Số phần tử của tập hợp $A=\left\{a;b;c;d\right\}$ là: 4

Chọn B.

Câu 16 (TH):

Phương pháp:

Đồ thị hàm số $y=a{x}^2$ nằm phía dưới trục hoành $\iff y<0\iff a<0$

Cách giải:

Đồ thị hàm số $y=\left(m-1\right)x^2$ nằm phía dưới trục hoành $\iff m-1<0\iff m<1$

Vậy $m<1$

Chọn D.

Câu 17 (TH):

Phương pháp:

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A\left(x_A;y_A\right)$ và $B\left(x_B;y_B\right)$

Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là: $y=ax+b$

Bước 2: Đường thẳng đi qua hai điểm $A\left(x_A;y_A\right)$ và $B\left(x_B;y_B\right)$ nên ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}a{x}_A+b=y_A\\ a{x}_B+b=y_B\end{array}$

Giải hệ phương trình, tìm $a,b$.

Bước 3: Kết luận phương trình đường thẳng cần tìm.

Cách giải:

Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là: $y=ax+b$

Đường thẳng đi qua hai điểm P(-1; 4) và Q(2;-5) nên ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}a.\left(-1\right)+b=4\\ a.2+b=-5\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}-a+b=4\\ 2a+b=-5\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-3a=9\\ -a+b=4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-3\\ b=a+4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-3\\ b=1\end{array}$

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: $y=-3x+1$

Chọn A.

Câu 18 (TH):

Phương pháp:

Tính $\sin \alpha$, $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}$

Cách giải:

Vì $0^0<\alpha <{90}^0\Rightarrow \sin \alpha >0$

Ta có: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

     $\begin{array}{l}\iff {\sin }^2\alpha +{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^2=1\\ \iff {\sin }^2\alpha =1-{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^2={\displaystyle \frac{16}{25}}\\ \Rightarrow \sin \alpha ={\displaystyle \frac{4}{5}}\end{array}$

Ta có: $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\displaystyle \frac{3}{5}}:{\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$

Chọn B.

Câu 19 (NB):

Phương pháp:

Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

Cách giải:

Ta có: $\mathrm{\angle }AOB={55}^0$ nên số đo cung nhỏ AB bằng ${55}^0$.

Chọn B.

Câu 20 (NB):

Phương pháp:

Vận dụng kiến thức vị trí tương đối của hai đường tròn.

Cách giải:

Ta có: $3-2<O{O}^{\prime }<3+2$ nên hai đường tròn cắt nhau.

Chọn B.

Câu 21 (NB):

Phương pháp:

Công thức tính thể tích V của hình trụ có bán kính đáy r, chiều cao h là: $V=\pi r^{2}h$

Cách giải:

Công thức tính thể tích V của hình trụ có bán kính đáy r, chiều cao h là: $V=\pi r^{2}h$

Chọn B.

Câu 22 (NB):

Phương pháp:

Vận dụng định lí tỉ số lượng giác của góc nhọn tròng tam giác vuông.

Cách giải:

Tam giác ABC vuông tại A, ta có: $\sin \mathrm{\angle }ABC={\displaystyle \frac{AC}{BC}}$ (tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông)

$\Rightarrow AC=BC.\sin \mathrm{\angle }ABC=4.\sin {30}^0=2\left(cm\right)$

Chọn A.

Câu 23 (NB):

Phương pháp:

Dây lớn nhất của đường tròn là đường kính.

Cách giải:

Dây lớn nhất của đường tròn có độ dài bằng: 25cm

Chọn A.

Câu 24 (NB):

Phương pháp:

Giả sử số tự nhiên n được phân tích thành thừa số nguyên tố: $n=p_1^{m_1}.p_2^{m_2}...p_k^{m_k}$

Khi đó, số ước nguyên dương của n là: $\left(m_1+1\right)\left(m_2+1\right)...\left(m_k+1\right)$

Cách giải:

Ta có: $24=2^3.3$

Khi đó, số ước nguyên dương của 24 là: $\left(3+1\right).\left(1+1\right)=8$

Chọn C.

Câu 25 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng hẳng đẳng thức, đánh giá để tìm GTLN của biểu thức.

Cách giải:

$M=-x^2+4x-10$

$\begin{array}{l}=-\left(x^2-4x+4\right)+4-10\\ =-{\left(x-2\right)}^2-6\end{array}$

Vì $-{\left(x-2\right)}^2\le 0$ với mọi x suy ra $-{\left(x-2\right)}^2-6\le -6$ với mọi x hay $M\le -6$ với mọi x

Dấu “=” xảy ra $\iff x-2=0\iff x=2$

Vậy GTNN của M bằng -6 khi x = 2.

Chọn C.

Câu 26 (TH):

Phương pháp:

Số đo góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung $={\displaystyle \frac{1}{2}}$ số đo góc nội tiếp cùng chắn cung đó.

Cách giải:

Góc hợp bởi hai tia Ax và AC là góc xAC

Xét (O) có: $\mathrm{\angle }xAC={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\angle }AOC$ (Số đo góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung $={\displaystyle \frac{1}{2}}$ số đo góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Suy ra $\mathrm{\angle }xAC={\displaystyle \frac{1}{2}}{.110}^0={55}^0$

Chọn D.

Câu 27 (NB):

Phương pháp:

Vận dụng kiến thức vị trí của đường thẳng và đường tròn.

Cách giải:

Vì 5cm < 6cm nên R < khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d do đó, số điểm chung của đường thẳng d và đường tròn là 0.

Chọn C.

Câu 28 (NB):

Phương pháp:

Vận dụng công thức: $a^{x_1}.a^{x_2}...a^{x_n}=a^{x_1+x_2+...+x_n}$

Cách giải:

$2^3{.2}^4{.2}^5=2^{3+4+5}=2^{12}$

Chọn B.

Câu 29 (NB):

Phương pháp:

Hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b$ là a.

Cách giải:

Hệ số góc của đường thẳng $y=5x-1$ là: 5

Chọn C.

Câu 30 (NB):

Phương pháp:

Nếu phương trình $a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)$có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ khi đó, áp dụng hệ thức Vi – ét, ta có: $x_1.x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}$

Cách giải:

$x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $2x^2-3x+1=0$, áp dụng hệ thức Vi – ét, ta có: $x_1{x}_2={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Chọn D.

Câu 31 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng hằng đẳng thức: $\sqrt{A^2}=\left|A\right|=\{\begin{array}{l}AkhiA\ge 0\\ -AkhiA<0\end{array}$

Cách giải:

$\begin{array}{l}\sqrt{25}-3=\sqrt{5^2}-3\\ =\left|5\right|-3=5-3\left(do5>0\right)\\ =2\end{array}$

Chọn C.

Câu 32 (NB):

Phương pháp:

Hàm số $y=ax+b$ đồng biến trên $\mathbb{R}\iff a>0$

Cách giải:

Hàm số $y=2x+1$ có $a=2>0$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$

Chọn D.

Câu 33 (NB):

Phương pháp:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)$, ta có:

+ Nếu $\mathrm{\Delta }=0\Rightarrow$Phương trình có 1 nghiệm.

+ Nếu $\mathrm{\Delta }<0\Rightarrow$Phương trình không có nghiệm.

+ Nếu $\mathrm{\Delta }>0\Rightarrow$Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Cách giải:

Ta có: ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-3\right)}^2-1.10=-1<0\Rightarrow$Phương trình vô nghiệm

Vậy số nghiệm của phương trình là 0.

Chọn A.

Câu 34 (NB):

Phương pháp:

Tứ giác nội tiếp có tổng hai góc bằng 180 độ.

Cách giải:

Tứ giác ABCD nội tiếp nên $\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }C={180}^0$

$\Rightarrow \mathrm{\angle }C={180}^0-\mathrm{\angle }A={180}^0-{70}^0={110}^0$

Chọn A.

Câu 35 (TH):

Phương pháp:

Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai.

Cách giải:

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{\sqrt{8}-\sqrt{27}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}}-\sqrt{6}\\ ={\displaystyle \frac{\sqrt{2^3}-\sqrt{3^3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}}-\sqrt{6}\\ ={\displaystyle \frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2^2}+\sqrt{2.3}+\sqrt{3^2}\right)}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}}-\sqrt{6}\\ =2+\sqrt{6}+3-\sqrt{6}\\ =5\end{array}$

Chọn C.

Câu 36 (VD):

Phương pháp:

Xác định mẫu thức chung, quy đồng thực hiện các phép toán với phân thức đại số.

Cách giải:

$A={\displaystyle \frac{4x}{x-9}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+3}}$

$\begin{array}{l}={\displaystyle \frac{4x}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+3}}\\ ={\displaystyle \frac{4x+{\left(\sqrt{x}+3\right)}^2-{\left(\sqrt{x}-3\right)}^2}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}}\\ ={\displaystyle \frac{4x+x+6\sqrt{x}+9-x+6\sqrt{x}-9}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}}\\ ={\displaystyle \frac{4x+12\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}}\\ ={\displaystyle \frac{4\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}}\\ ={\displaystyle \frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}}\end{array}$

Khi đó, m = 4, n = 0 suy ra m – n = 4

Chọn A.

Câu 37 (VD):

Phương pháp:

Áp dụng định lí Py – ta – go để tính độ dài OI

Cách giải:

Gọi H là giao điểm của OI và AB

Ta có: AI = BI; OI = OB nên OI là đường trung trực của AB

Suy ra H là trung điểm của $AB\Rightarrow AH={\displaystyle \frac{1}{2}}AB={\displaystyle \frac{1}{2}}.19,2=9,6\left(cm\right)$

và OI vuông góc với AB tại H

Xét $\mathrm{\Delta }AHI$ vuông tại H, áp dụng định lí Py – ta – go, ta có:

$\begin{array}{l}A{I}^2=A{H}^2+I{H}^2\\ \iff I{H}^2=A{I}^2-A{H}^2\\ \iff I{H}^2={16}^2-9,6^2=163,84\\ \Rightarrow IH=12,8\left(cm\right)\end{array}$

Xét $\mathrm{\Delta }AOH$ vuông tại H, áp dụng định lí Py – ta – go, ta có:

$\begin{array}{l}A{O}^2=A{H}^2+O{H}^2\\ \iff O{H}^2=A{O}^2-A{H}^2\\ \iff O{H}^2={12}^2-9,6^2=51,84\\ \Rightarrow OH=7,2\left(cm\right)\end{array}$

Ta có: $OI=OH+HI=7,2+12,8=20\left(cm\right)$

Chọn A.

Câu 38 (VD):

Phương pháp:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d)   (1)

Yêu cầu đề bài $\iff$ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$

Theo hệ thức Vi – ét, tính được $x_1+x_2,x_1{x}_2$ theo m, sau đó thay vào ${\displaystyle \frac{1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{1}{x_2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$ để tìm m.

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) ta có:

$\begin{array}{l}{x}^2=2mx-m+3\\ \iff x^2-2mx+m-3=0\left(1\right)\end{array}$

Để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1;x_2$ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ $\iff {\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$

$\begin{array}{l}\iff {\left(-m\right)}^2-1.\left(m-3\right)>0\\ \iff m^2-m+3>0\\ \iff m^2-2.{\displaystyle \frac{1}{2}}m+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+3>0\end{array}$

$\iff {\left(m-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{11}{4}}>0$ với mọi m

Theo hệ thức Vi – ét, ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m\\ x_1{x}_2=m-3\end{array}$

Theo đề bài: ${\displaystyle \frac{1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{1}{x_2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$ (điều kiện: $x_1\ne 0;x_2\ne 0\Rightarrow x_1{x}_2\ne 0\iff m\ne 3$)

$\begin{array}{l}\iff {\displaystyle \frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\\ \Rightarrow 2\left(x_1+x_2\right)=3x_1{x}_2\\ \iff 2.2m-3\left(m-3\right)=0\\ \iff 4m-3m+9=0\\ \iff m+9=0\\ \iff m=-9\left(tmdk\right)\end{array}$

Chọn D.

Câu 39 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp cộng đại số tìm nghiệm x, y của hệ phương trình.

Thay nghiệm x, y của hệ phương trình vào $x-y=5$ để tìm m

Cách giải:

$\{\begin{array}{l}2x+y=5m+1\\ x+3y=5m+3\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}2x+y=5m+1\\ 2x+6y=10m+6\end{array}\iff \{\begin{array}{l}5y=5m+5\\ x+3y=5m+3\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}y=m+1\\ x=5m+3-3y\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=m+1\\ x=5m+3-3\left(m+1\right)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=m+1\\ x=2m\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(2m;m+1\right)$

Để $x-y=5$ $\iff 2m-\left(m+1\right)=5$

$\begin{array}{l}\iff 2m-m-1=5\\ \iff m-1=5\\ \iff m=6\end{array}$

Vậy $m=6$

Chọn A.

Câu 40 (VD):

Phương pháp:

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Cách giải:

$\mathrm{\Delta }ABH$ vuông tại H, áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, ta có:

$\tan \mathrm{\angle }B={\displaystyle \frac{AH}{BH}}\Rightarrow AH=BH.\tan \mathrm{\angle }B=12,5.\tan {65}^0$

Ta có: $\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }HAC={65}^0$ (cùng phụ với $\mathrm{\angle }BAH$)

$\mathrm{\Delta }AHC$ vuông tại H, áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, ta có:

$\cos \mathrm{\angle }HAC={\displaystyle \frac{AH}{AC}}\Rightarrow AC={\displaystyle \frac{AH}{\cos \mathrm{\angle }HAC}}={\displaystyle \frac{12,5.\tan {65}^0}{\cos {65}^0}}\approx 63,43\left(cm\right)$

Chọn B.

Câu 41 (VD):

Phương pháp:

Đặt $t=x^2\left(t\ge 0\right)$

Phương trình ban đầu trở thành phương trình bậc hai một ẩn: $a{t}^2+bt+c=0\left(a\ne 0\right)$

Cách giải:

Đặt $t=x^2\left(t\ge 0\right)$, phương trình ban đầu trở thành: $2t^2-3t-20=0$   (1)

Ta có: $t_1{t}_2=2.\left(-20\right)<0$ suy ra phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu t

$\Rightarrow$ Phương trình ban đầu có hai nghiệm x

Chọn B.

Câu 42 (VD):

Phương pháp:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Cách giải:

Gọi A là giao điểm của đường thẳng và Oy suy ra $A\left(0;{\displaystyle \frac{10}{3}}\right)$

B là giao điểm của đường thẳng và Ox suy ra $B\left({\displaystyle \frac{-5}{2}};0\right)$

Khi đó,

Kẻ OH vuông góc với AB khi đó khoảng cách từ O (0; 0) đến đường thẳng là OH

$\mathrm{\Delta }OAB$ vuông tại O, đường cao OH, ta có:

${\displaystyle \frac{1}{O{H}^2}}={\displaystyle \frac{1}{O{A}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{O{B}^2}}$

$\begin{array}{l}\iff {\displaystyle \frac{1}{O{H}^2}}={\displaystyle \frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{10}{3}}\right)}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{{\left(-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\\ \Rightarrow O{H}^2=4\\ \Rightarrow OH=2\end{array}$

Chọn C.

Câu 43 (TH):

Phương pháp:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)$ có hai nghiệm trái dấu $\iff ac<0$

Cách giải:

Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu $\iff 1.\left(-m+1\right)<0$

$\begin{array}{l}\iff -m<-1\\ \iff m>1\end{array}$

Vậy m > 1

Chọn C.

Câu 44 (VD):

Phương pháp:

Đường thẳng $\left(d\right):y=ax+b$ song song với đường thẳng $\left(d^{\prime }\right):y=a^{\prime }x+b^{\prime }$ khi và chỉ khi $\{\begin{array}{l}a=a^{\prime }\\ b\ne b^{\prime }\end{array}$.

Cách giải:

Gọi đường thẳng cần tìm là $\left(d\right):y=ax+b$

Đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 4x – 3 nên $\{\begin{array}{l}a=4\\ b\ne -3\end{array}$

Khi đó, đường thẳng có dạng $\left(d\right):y=4x+b\left(b\ne -3\right)$

(d) cắt trục Ox tại A nên $A\left({\displaystyle \frac{-b}{a}};0\right)$ suy ra $OA=\left|{\displaystyle \frac{-b}{a}}\right|$

(d) cắt trục Oy tại B nên $B\left(0;b\right)$ suy ra $OB=\left|b\right|$

Diện tích $\mathrm{\Delta }OAB$ bằng 2 nên ta có: ${\displaystyle \frac{1}{2}}.\left|b\right|.\left|{\displaystyle \frac{b}{4}}\right|=2$

                                                    $\iff b^2=2.8=16$

Ta có: $T=a^2+b^2=4^2+16=32$

Chọn C.

Câu 45 (NB):

Phương pháp:

Vận dụng định lí Ta – lét.

Cách giải:

Gọi K là tiếp điểm cua đường tròn (O) với tiếp tuyến EF

H là giao điểm của OK và AB

Ta có: $OK\mathrm{\perp }EF$ (vì EF là tiếp tuyến của (O) tại K)

           AB//EF (giả thiết)

Suy ra $OK\mathrm{\perp }AB$

$\Rightarrow H$ là trung điểm của AB (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

$\Rightarrow AH={\displaystyle \frac{1}{2}}AB={\displaystyle \frac{1}{2}}.24=12\left(cm\right)$

Tam giác AOH vuông tại H, áp dụng định lý Py – ta – go, ta có:

$\begin{array}{l}A{O}^2=A{H}^2+O{H}^2\\ \iff O{H}^2=A{O}^2-A{H}^2\\ \iff O{H}^2={15}^2-{12}^2=81\\ \Rightarrow OH=9\left(cm\right)\end{array}$