Đề bài
Cho tam giác ABC có đường cao AH, \(\widehat B = {60^o},\widehat C = {45^o}\) và cạnh \(BC = 6cm\). Chứng minh rằng \(AH = 3\left( {3 - \sqrt 3 } \right)cm\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Chỉ ra H nằm giữa B và C.
+ Tam giác ABH vuông tại H nên \(AH = BH.\tan B\), suy ra \(BH = \frac{{AH}}{{\sqrt 3 }}\).
+ Chứng minh tam giác ACH vuông cân tại H, suy ra \(CH = AH\).
+ \(BC = BH + CH = AH\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }} + 1} \right)\), từ đó suy ra \(AH = 3\left( {3 - \sqrt 3 } \right)cm\).
Lời giải chi tiết
Tam giác ABC có góc B và góc C đều nhọn nên H nằm giữa B và C.
Tam giác ABH vuông tại H nên \(AH = BH.\tan B = BH.\tan {60^o} = \sqrt 3 BH\),
suy ra \(BH = \frac{{AH}}{{\sqrt 3 }}\).
Tam giác ACH vuông tại H có \(\widehat C = {45^o}\) nên tam giác ACH vuông cân tại H nên \(CH = AH\).
Ta có: \(BC = BH + CH = AH\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }} + 1} \right)\) nên \(\frac{{\sqrt 3 + 1}}{{\sqrt 3 }}AH = 6\),
suy ra \(AH = \frac{{6\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 + 1}} = 3\left( {3 - \sqrt 3 } \right)\left( {cm} \right)\)
English
French
Spanish
Russian