Giải bài 5.7 trang 59 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1

Đề bài

Cho tam giác cân ABC (AB=AC). Gọi (O) là đường tròn đi qua ba điểm A, B, C và E là điểm trên cung nhỏ BC sao cho $\overset\frown{BE}=\overset\frown{EC}$.

a) Chứng minh rằng ba điểm A, O, E thẳng hàng.

b) Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC. Chứng minh rằng $AH<AB<AE$.

Lời giải chi tiết

a) Tam giác OAB và tam giác OAC có: OA chung, $AB=AC,OB=OC$ nên $\mathrm{\Delta }OAB=\mathrm{\Delta }OAC\left(c.c.c\right)$.

Suy ra $\widehat{AOB}=\widehat{AOC}$.

Mà AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB, AOC là góc ở tâm chắn cung nhỏ AC. Do đó, $\overset\frown{AB}=\overset\frown{AC}$

Theo giả thiết, $\overset\frown{BE}=\overset\frown{EC}$. Do đó, sđ$\overset\frown{AB}+sđ\overset\frown{BE}=sđ\overset\frown{EC}+sđ\overset\frown{AC}$

Suy ra: sđ$\overset\frown{ABE}=sđ\overset\frown{ACE}$. Mà $sđ\overset\frown{ABE}+sđ\overset\frown{ACE}={{360}^{o}}$ nên sđ$\overset\frown{ABE}=sđ\overset\frown{ACE}=\frac{{{360}^{o}}}{2}={{180}^{o}}$

Do đó, cung ABE là nửa đường tròn. Vậy ba điểm A, O, E thẳng hàng.

b) Vì EA đi qua O nên AE là đường kính của (O), AB là dây không đi qua O nên $AB<AE$.

Tam giác ABH vuông tại H nên AB là cạnh huyền. Do đó, $AH<AB$.

Vậy $AH<AB<AE$.