Giải bài 6.24 trang 14 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2

Đề bài

Bác Long có 48 mét lưới thép. Bác muốn dùng để rào xung quanh một mảnh đất trống (đủ rộng) thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau.

a) Biết diện tích của mảnh vườn là $108m^2$, hãy tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.

b) Hỏi diện tích lớn nhất của mảnh vườn mà bác Long có thể rào được là bao nhiêu mét vuông?

Lời giải chi tiết

Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn lần lượt là x (m) và y(m). Điều kiện: $0<x<y$.

a) Vì diện tích của mảnh vườn là $108m^2$ nên $xy=108$

Vì bác Long dùng 48 mét lưới để rào xung quanh mảnh vườn nên tổng chiều dài và chiểu rộng là: $2\left(x+y\right)=48$ hay $x+y=24$.

Do đó, x và y là hai nghiệm của phương trình: $A^2-24A+108=0$

Ta có: ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-12\right)}^2-1.108=36>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: $A_1=\frac{12+\sqrt{36}}{1}=18$ (thỏa mãn), $A_2=\frac{12-\sqrt{36}}{1}=6$ (thỏa mãn). Do đó, $x=6m,y=18m$.

Vậy chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn lần lượt là 6m và 18m.

b) Gọi $S\left(m^2\right)$ là diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật mà bác Long có thể rào được.

Ta có: $x+y=24$, $xy=S$.

Do đó, x và y là hai nghiệm của phương trình: $A^2-24A+S=0$ (*)

Phương trình (*) có nghiệm khi ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-12\right)}^2-1.S=144-S\ge 0$, suy ra $S\le 144$.

Khi $S=144$ thì phương trình (*) có nghiệm kép $A_1=A_2=12$. Do đó, $x=y=12$.

Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn mà bác Long có thể rào được là $144m^2$ (khi đó mảnh vườn là hình vuông có cạnh 12m).