Giải bài 17 trang 101 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm A và B phân biệt. Vẽ đường thẳng vuông góc với AB tại A và cắt (O), (O’) lần lượt tại C, D. Tia CB cắt (O’) tại E, tia DB cắt (O) tại F. Chứng minh rằng:

a) CD.CA = CB.CE.

b) DC.DA = DB.DF.

c) CD² = CB.CE + DB.DF.

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác CDB và tam giác CEA có góc C chung. Trong đường tròn (O’), ta có:

\(\widehat{CDB}=\widehat{ADB}=\frac{1}{2}sđ\overset\frown{AB}\), 

\(\widehat{CEA}=\widehat{BEA}=\frac{1}{2}sđ\overset\frown{AB}\)

Suy ra \(\widehat {CDB} = \widehat {CEA}\), do đó \(\Delta CDB\backsim \Delta CEA\)

Suy ra \(\frac{{CD}}{{CE}} = \frac{{CB}}{{CA}}\) hay CD.CA = CB.CE.

b) Chứng minh tương tự, ta cũng có DC.DA = DB.DF.

c) Ta có:

CB.CE + DB.DF = CD.CA + DC.DA = CD(CA + AD) = CD.CD = CD².