Đề bài
Cho biểu thức \(M = \frac{1}{{2\sqrt x - 2}} - \frac{1}{{2\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{1 - x}}\) với \(x > 0\).
a) Rút gọn biểu thức M.
b) Tính giá trị biểu thức M tại \(x = \frac{4}{9}.\)
c) Tìm giá trị của x để \(\left| M \right| = \frac{1}{3}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Quy đồng mẫu thức các phân thức.
b) Thay \(x = \frac{4}{9}\) vào biểu thức vừa rút gọn.
c) Thay biểu thức M vừa rút gọn vào phương trình \(\left| M \right| = \frac{1}{3}\), và giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Lời giải chi tiết
a) Với \(x > 0\), ta có:
\(\begin{array}{l}M = \frac{1}{{2\sqrt x - 2}} - \frac{1}{{2\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{1 - x}}\\ = \frac{1}{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{1}{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}\\ = \frac{{\sqrt x + 1}}{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}} - \frac{{\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}} + \frac{{2\sqrt x }}{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}\\ = \frac{{\sqrt x + 1 - \left( {\sqrt x - 1} \right) - 2\sqrt x }}{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}\\ = \frac{{2 - 2\sqrt x }}{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}\\ = \frac{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}\\ = - \frac{1}{{1 + \sqrt x }}\end{array}\)
Vậy \(M = - \frac{1}{{1 + \sqrt x }}\).
b) Thay \(x = \frac{4}{9}\) (thỏa mãn điều kiện) vào M, ta được:
\(M = - \frac{1}{{1 + \sqrt x }} = - \frac{1}{{1 + \sqrt {\frac{4}{9}} }} = - \frac{1}{{1 + \frac{2}{3}}} = \frac{{ - 3}}{5}\)
Vậy \(M = \frac{{ - 3}}{5}\) với \(x = \frac{4}{9}\).
a) Để \(\left| M \right| = \frac{1}{3}\) thì \(\left| { - \frac{1}{{1 + \sqrt x }}} \right| = \frac{1}{3}\)
Ta xét 2 trường hợp sau:
TH1: \( - \frac{1}{{1 + \sqrt x }} = \frac{1}{3}\)
\(\begin{array}{l} - \frac{1}{{1 + \sqrt x }} = \frac{1}{3}\\1 + \sqrt x = - 3\end{array}\)
\(\sqrt x = - 4\) (vô lý)
TH2:
\(\begin{array}{l} - \frac{1}{{1 + \sqrt x }} = - \frac{1}{3}\\\frac{1}{{1 + \sqrt x }} = \frac{1}{3}\\1 + \sqrt x = 3\\\sqrt x = 2\\x = 4(TMĐK)\end{array}\)
Vậy \(x = 4\) là giá trị cần tìm.
English
French
Spanish
Russian