Đề bài
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, kẻ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyển thứ ba cắt Ax, By lần lượt tại C, D. Gọi N là giao điểm của AD và BC và H là giao điểm của MN và AB (Hình 24).
Chứng minh:
a) \(MN \bot AB\)
b) \(MN = NH\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Bước 1: Chứng minh \(AC = CM,BD = DM\)
Bước 2: Áp dụng định lý Thales trong các tam giác ANC, ACD để suy ra \(\frac{{NA}}{{ND}} = \frac{{CM}}{{DM}}\)
b) Áp dụng định lý Thales trong các tam giác CAD, CAN, CBA suy ra \(\frac{{MN}}{{AC}} = \frac{{NH}}{{CA}}\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(Ax \bot AB,By \bot AB\) (do Ax, By là tiếp tuyến của (O)) nên \(Ax//By\).
Mặt khác, do Ax, By, CD là tiếp tuyến của (O)) nên \(AC = CM,BD = DM\).
Xét tam giác ANC có \(AC//BD\), áp dụng định lý Thales ta được \(\frac{{NA}}{{ND}} = \frac{{AC}}{{BD}}\)
nên \(\frac{{NA}}{{ND}} = \frac{{CM}}{{DM}}\).
Xét tam giác CAD có \(\frac{{NA}}{{ND}} = \frac{{CM}}{{DM}}\)\(\left( {N \in AD,M \in CD} \right)\) do đó \(MN//AC\).
Mà \(AC \bot AB\) suy ra \(MN \bot AB\).
b) Áp dụng định lý Thales trong:
Tam giác CAD có \(MN//AC\): \(\frac{{MN}}{{AC}} = \frac{{DN}}{{AB}}\)(1)
Tam giác CAN có \(CA//BD\): \(\frac{{DN}}{{AB}} = \frac{{BN}}{{CB}}\) (2)
Tam giác CBA có \(NH//CA\): \(\frac{{BN}}{{CB}} = \frac{{NH}}{{CA}}\) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra \(\frac{{MN}}{{AC}} = \frac{{NH}}{{CA}}\), do đó \(MN = NH\)
English
French
Spanish
Russian