Giải bài 43 trang 122 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

Đề bài

Cho hình chữ nhật ABCD với AB = 10cm. Vẽ hai nửa đường tròn tâm O đường kính AB và tâm O’ đường kính CD cắt nhau tại P, Q. Biết rằng đường tròn tâm H đường kính PQ tiếp xúc với AB và CD (Hình 47). Tính diện tích phần chung của hai nửa đường tròn (O), (O’).

Lời giải chi tiết

Ta có: O là tâm đường tròn đường kính AB nên $OA=OB=OP=OQ=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5$cm.

Ta lại có: O’ là tâm đường tròn đường kính CD nên $O^{\prime }C=O^{\prime }D=O^{\prime }P=O^{\prime }Q=\frac{CD}{2}$

Mà $AB=CD$ (do ABCD là hình chữ nhật), suy ra $OP=OQ=O^{\prime }P=O^{\prime }Q$.

Có: AB, CD tiếp xúc với (H), $OH\mathrm{\perp }AB$tại O tại O’, do đó O và O’ là tiếp điểm của 2 tiếp tuyến AB và CD của (H), hay $O\in (H),O^{\prime }\in (H)$.

Diện tích tam giác OPQ là:

$\frac{1}{2}OP.OQ=\frac{1}{2}5.5=\frac{25}{2}$(cm²)

Diện tích hình quạt tròn OPQ của (O) là

$\frac{\pi {.5}^2.90}{360}=\frac{25\pi }{4}$(cm²)

Diện tích hình tạo bởi dây PQ và cung nhỏ PQ của (O) là:

$\frac{25\pi }{4}-\frac{25}{2}=\frac{25}{4}\left(\pi -2\right)$(cm²)

Diện tích tam giác O’PQ là:

$\frac{1}{2}OP.OQ=\frac{1}{2}5.5=\frac{25}{2}$(cm²)

Diện tích hình quạt tròn O’PQ của (O’) là

$\frac{\pi {.5}^2.90}{360}=\frac{25\pi }{4}$ (cm²)

Diện tích hình tạo bởi dây PQ và cung nhỏ PQ của (O’) là:

$\frac{25\pi }{4}-\frac{25}{2}=\frac{25}{4}\left(\pi -2\right)$ (cm²)

Vậy diện tích phần chung của 2 nửa đường tròn (O) và (O’) là:

$2.\frac{25}{4}\left(\pi -2\right)=\frac{25}{2}\left(\pi -2\right)$ (cm²)