Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức

2024-09-14 19:25:17

1. Định nghĩa

Khái niệm GTLN, GTNN của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

- Số M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) $ \le $ M với mọi $x \in D$ và tồn tại ${x_0} \in D$ sao cho $f({x_0})$ = M.

Kí hiệu M = $\mathop {\max }\limits_{x \in D} f(x)$ hoặc M = $\underset{D}{\mathop{\max }}\,f(x)$

- Số m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) $ \ge $ m với mọi $x \in D$ và tồn tại ${x_0} \in D$ sao cho $f({x_0})$ = m.

Kí hiệu m = $\mathop {\min }\limits_{x \in D} f(x)$ hoặc m = $\mathop {\min }\limits_D f(x)$

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = f(x) = \sqrt {1 - {x^2}} $

Tập xác định của hàm số là $\left[ { - 1;1} \right]$

Ta có:

$f(x) = \sqrt {1 - {x^2}} $ $ \ge $ 0; dấu bằng xảy ra khi $1 - {x^2} = 0$, tức x = -1 hoặc x = 1.

Do đó $\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]} f(x) = f( - 1) = f(1) = 0$

$f(x) = \sqrt {1 - {x^2}} $ $ \le 1$; dấu bằng xảy ra khi $1 - {x^2} = 1$, tức x = 0.

Do đó $\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]} f(x) = f(0) = 1$

2. Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Giả sử y = f(x) là hàm số liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ và có đạo hàm trên (a;b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn $\left[ {a;b} \right]$ mà đạo hàm f’(x) = 0.

Các bước tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$:

Tìm các điểm ${x_1},{x_2},...,{x_n} \in (a;b)$, tại đó f’(x) = 0 hoặc không tồn tại
Tính $f({x_1}),f({x_2}),...,f({x_n}),f(a)$ và $f(b)$
Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:

M = $\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)$; m = $\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)$

Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = {x^4} - 4{x^2} + 3$ trên đoạn $\left[ {0;4} \right]$

Ta có: $y' = 4{x^3} - 8x = 4x({x^2} - 2);y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \sqrt 2 $ (vì $x \in \left[ {0;4} \right]$)

y(0) = 3; y(4) = 195; y($\sqrt 2 $) = -1

Do đó: $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y(4) = 195$; $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y(\sqrt 2 ) = - 1$

Bạn muốn hỏi điều gì?

Đặt Câu Hỏi

We using AI and power community to slove your question

Mẹo tìm đáp án nhanh

Search Google: "từ khóa + hoctot.me" Ví dụ: "Bài 1 trang 15 SGK Vật lí 11 hoctot.me"