Giải mục 1 trang 20, 21 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 20 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x}$ có đồ thị (C). Với $x>0$, xét điểm M (x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng $y=2$ (H.1.19).

a) Tính khoảng cách MH.

b) Có nhận xét gì về khoảng cách MH khi $x\to +\mathrm{\infty }$?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về giới hạn của hàm số để tính.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $M\left(x;\frac{2x+1}{x}\right)$; $H\left(x;2\right)$.

Do đó, $MH=\sqrt{{\left(x-x\right)}^2+{\left(2-\frac{2x+1}{x}\right)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{2x-2x-1}{x}\right)}^2}=\frac{1}{x}$ (do $x>0$)

b) Ta có: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}=0$. Do đó, khi $x\to +\mathrm{\infty }$ thì $MH\to 0$.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 21 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x-1}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận ngang: Đường thẳng $y=y_0$ gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=y_0$ hoặc $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=y_0$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x-1}{x-1}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}=2;\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x-1}{x-1}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}=2$.

Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x-1}$ là $y=2$.

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 21 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Giả sử khối lượng còn lại của một chất phóng xạ (gam) sau t ngày phân rã được cho bởi hàm số $m\left(t\right)=15e^{-0,012t}$. Khối lượng m(t) thay đổi ra sao khi $t\to +\mathrm{\infty }$? Điều này thể hiện trên Hình 1.18 như thế nào?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận ngang: Đường thẳng $y=y_0$ gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=y_0$ hoặc $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=y_0$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}m\left(t\right)=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}15e^{-0,012t}=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{15}{e^{0,012t}}=0$

Do đó, $m\left(t\right)\to 0$ khi $t\to +\mathrm{\infty }$.

Trong hình 1.18, khi $t\to +\mathrm{\infty }$ thì m(t) càng gần trục hoành Ot (nhưng không chạm trục Ot).