Đề bài
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {\left( {x - 2} \right)^2}.{e^x}\) trên đoạn [1; 3] là:
A. 0.
B. \({e^3}\).
C. \({e^4}\).
D. e.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử \(y = f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) mà đạo hàm \(f'\left( x \right) = 0\).
Các bước tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):
1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...{x_n} \in \left( {a;b} \right)\), tại đó \(f'\left( x \right) = 0\) hoặc không tồn tại.
2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right)\), f(a) và f(b).
3. Tìm số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có: \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \(y' = 2\left( {x - 2} \right){e^x} + {e^x}{\left( {x - 2} \right)^2},y' = 0 \Leftrightarrow 2\left( {x - 2} \right){e^x} + {e^x}{\left( {x - 2} \right)^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow {e^x}\left( {2 + x - 2} \right)\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x.{e^x}\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\)
\(y\left( 0 \right) = 4;y\left( 1 \right) = e;y\left( 3 \right) = {e^3},y\left( 2 \right) = 0\)
Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {\left( {x - 2} \right)^2}.{e^x}\) trên đoạn [1; 3] là \({e^3}\).
Chọn B
English
French
Spanish
Russian