Giải bài tập 2.18 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O’A’B’C’ có \(A\left( {1;1; - 1} \right),B\left( {0;3;0} \right),C'\left( {2; - 3;6} \right)\).
a) Xác định tọa độ của điểm C.
b) Xác định các tọa độ đỉnh còn lại của hình hộp.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: O(0; 0; 0)

Vì OABC.O’A’B’C’ là hình hộp nên AOBC là hình bình hành. Do đó:\(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {CB}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = {x_B} - {x_C}\\{y_A} = {y_B} - {y_C}\\{z_A} = {z_B} - {z_C}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = {x_B} - {x_A} = 1\\{y_C} = {y_B} - {y_A} =  - 2\\{z_C} = {z_B} - {z_A} =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {-1; 2;  1} \right)\)

b) Vì OABC.O’A’B’C’ là hình hộp nên

\(\overrightarrow {OO'}  = \overrightarrow {CC'}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{O'}} = {x_{C'}} - {x_C} = 3\\{y_{O'}} = {y_{C'}} - {y_C} =  - 5\\{z_{O'}} = {z_{C'}} - {z_C} = 5\end{array} \right. \Rightarrow O'\left( {3; - 5;5} \right)\)

\(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {CC'}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} - {x_A} = {x_{C'}} - {x_C} = 3\\{y_{A'}} - {y_A} = {y_{C'}} - {y_C} =  - 5\\{z_{A'}} - {z_A} = {z_{C'}} - {z_C} = 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 4\\{y_{A'}} = -4\\{z_{A'}} = 4\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {4;-4;4} \right)\)

\(\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {CC'}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} - {x_B} = \left( {{x_{C'}} - {x_C}} \right) = 3\\{y_{B'}} - {y_B} = \left( {{y_{C'}} - {y_C}} \right) =  - 5\\{z_{B'}} - {z_B} = \left( {{z_{C'}} - {z_C}} \right) = 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = 3\\{y_{B'}} = -2\\{z_{B'}} = 5\end{array} \right. \Rightarrow B'\left( {3;-2;5} \right)\)