Đề bài
Giả sử vận tốc v của dòng máu ở khoảng cách r từ tâm của động mạch bán kính R không đổi, có thể được mô hình hóa bởi công thức \(v = k\left( {{R^2} - {r^2}} \right)\), trong đó k là một hằng số. Tìm vận tốc trung bình (đối với r) của động mạch trong khoảng \(0 \le r \le R\). So sánh vận tốc trung bình với vận tốc lớn nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số \(F\left( b \right) - F\left( a \right)\) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)
Sử dụng kiến thức về định nghĩa giá trị trung bình để tính: Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) trên đoạn [a; b] được định nghĩa là \(\frac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).
Lời giải chi tiết
Vận tốc trung bình của động mạch là:
\(\frac{1}{{R - 0}}\int\limits_0^R {v\left( r \right)dr} = \frac{1}{R}\int\limits_0^R {k\left( {{R^2} - {r^2}} \right)dr} = \frac{1}{R}\int\limits_0^R {\left( {k{R^2} - k{r^2}} \right)dr} = \frac{1}{R}\left( {k{R^2}r - \frac{{k{r^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}R\\0\end{array} \right.\)
\( = \frac{1}{R}\left( {k.{R^3} - \frac{{k{R^3}}}{3}} \right) = \frac{{2k{R^2}}}{3}\)
Do đó, vận tốc trung bình của động mạch là: \({v_{tb}} = \frac{{2k{R^2}}}{3}\).
Vì \(0 \le r \le R\) nên vận tốc của động mạch đạt giá trị lớn nhất là \({v_{\max }} = k{R^2}\) khi \(r = 0\).
Do đó, \({v_{\max }} = \frac{3}{2}{v_{tb}}\).
English
French
Spanish
Russian