Đề bài
Cho tứ diện ABCD, chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\);
b) Nếu \(AB \bot CD\) và \(AC \bot BD\) thì \(AD \bot BC\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để tính: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \)
Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Khi đó, \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} \)
\(= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} } \right)\overrightarrow {BC} \)
\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} \)
\( = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DC} } \right) + \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {BC} .\left( {\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CB} } \right) + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} \)
\( = \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} .\left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BD} } \right) = 0\)
Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\).
b) Vì \(AB \bot CD\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0\), \(AC \bot BD\) nên \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} = 0\)
Mà \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\) nên \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\). Do đó, \(AD \bot BC\).
English
French
Spanish
Russian