Giải bài tập 27 trang 93 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right),B\left( {3;0; - 1} \right)\).

a) Viết phương trình mặt phẳng (OAB).

b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.

c) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right|\) nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\overrightarrow {OA} \left( {1; - 2;3} \right),\overrightarrow {OB} \left( {3;0; - 1} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&3\\0&{ - 1}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\{ - 1}&3\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\3&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {2;10;6} \right)\)

Mặt phẳng (AOB) có hai vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \) nên mặt phẳng (OAB) nhận \(\frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {1;5;3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình mặt phẳng (OAB) là: \(x + 5y + 3z = 0\).

b) Vì I là trung điểm của AB nên: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{1 + 3}}{2} = 2\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{ - 2 + 0}}{2} =  - 1\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{{3 - 1}}{2} = 1\end{array} \right.\). Vậy \(I\left( {2; - 1;1} \right)\)

c) Vì I là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MI} \).

Do đó, \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {MI} } \right| = 2MI\)

Để \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right|\) nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất.

Mà M thuộc mặt phẳng (Oxy) nên MI nhỏ nhất khi \(MI \bot \left( {Oxy} \right)\). Hay M là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (Oxy). Do đó, \(M\left( {2; - 1;0} \right)\).